ideais com norma fixa em um domínio de Dedekind

Question

Dado um domínio geral de Dedekind$R$é verdade que há no máximo um número finito de ideais primos de$R$com a mesma norma dada? Por "norma" quero dizer o índice do ideal em$R$, assumida como finita.

Answer 1

Tem-se o seguinte resultado geral:

Teorema (Gilmer--Heinzer): Seja$R$ser um anel Noetheriano. Então, existe apenas um número finito de ideais$I$do$R$de tal modo que$|R/I|\leqslant n$para qualquer número natural$n$.

Para uma prova, pode-se ver [1]. Para uma discussão mais descontraída, veja [2, pág. 15].

[1] Gilmer, R. e Heinzer, W., 1992. Produtos de anéis comutativos e zero-dimensionalidade . Transações da American Mathematical Society, 331(2), pp.663-680.

[2] Anderson, DF e Dobbs, D. eds., 1995. Anéis comutativos de dimensão zero (Vol. 171). Imprensa CR.