Incorporação de$\sqrt{|i-j|}$distância em$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Aug 16 2020

Considere o espaço métrico$(X=\{1,\ldots,n\},d)$de tal modo que:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Posso$(X,d)$ser encaixado isometricamente em$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Se for esse o caso, podemos encontrar alguma isometria natural$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?


Para adicionar algum contexto, considero o passeio aleatório:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

onde o$X_i$'s são gaussianos padrão independentes.$S=(S_1,\ldots,S_n)$é normalmente distribuído (porque também são suas projeções ao longo de cada direção), então deve existir$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$de tal modo que:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

Onde$g$é um$n$Gaussiana padrão tridimensional. Mas acontece:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

o que implica a existência da incorporação. Eu queria saber se existe uma prova explícita disso (com certeza deve haver!).

Respostas

3 BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:16

Aqui está uma incorporação: definir$$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$