Isomorfismo $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [duplicado]
Eu gostaria de encontrar um isomorfismo de grupo $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $. Pelo teorema fundamental de um grupo abeliano finito e o teorema do resto chinês, sabemos que esses grupos são isomórficos, mas quero mostrar isso construindo um isomorfismo.
No entanto, não sei qual é o primeiro passo. A única coisa que sei é que$f(0,0)=(0,0)$ já que um isomorfismo mapeia um elemento de identidade para um elemento de identidade.
Então eu vi Como construir um isomorfismo? e tentei imitar o caminho, como$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, mas obviamente não é uma sobreposição.
Agora estou preso aqui. Qualquer ajuda?
Respostas
Apresentamos um grupo intermediário $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$. Representam um elemento arbitrário deste grupo como$(a,b,c)$ onde os índices são módulos de resíduos $17,3,187$ respectivamente.
Existe um isomorfismo deste grupo para o domínio de $f$: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$. Também existe um isomorfismo no codomínio de$f$: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$. Coloque esses dois isomorfismos juntos e você terá o necessário$f$.