Lema de Ito, notação de termos de 2ª ordem.
Eu tenho uma questão de notação aqui.
Na forma mais simples do lema de Ito, temos este
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
Eu sei como calcular o $ d\langle Y \rangle_t $ prazo, mas eu sempre quero perguntar
- qual é o nome do termo e o que exatamente significa?
- por que é escrito de uma maneira tão especial, mas não usando $ Cov() $, ou $ Var() $?
Conceitualmente, para mim, essa é a variação do processo, mas simplesmente não entendo a notação. Por que o subscrito$ t $ está sendo colocado fora do $ \langle \cdot \rangle $.
Posso escrever como qualquer um desses abaixo?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
Se houver dois processos envolvidos, seguindo o padrão, acho que deveria ser escrito assim $ d\langle X, Y \rangle_t $, mas posso escrever assim abaixo?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
Também posso escrever na forma integral? Onde devo colocar o$ t $ se estou escrevendo de forma integral?
Muito obrigado
Respostas
Notação de mão longa / mão curta:
Eu pessoalmente sempre achei a notação abreviada confusa e até hoje tento evitá-la sempre que possível. A seguir, tentarei demonstrar por que é confuso e leva a erros comuns.
Na notação "longa", um processo Ito $X_t$ é definido da seguinte forma:
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
Acima de, $a(X_t,t)$ e $b(X_t,t)$ são alguns processos quadrados-integráveis.
É importante notar que a variação quadrática de$X_t$ então seria:
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(isso segue da definição de variação quadrática para processos estocásticos, veja a edição no final deste post)
Agora, em notação abreviada, podemos escrever a equação para $X_t$ acima como:
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
Em primeiro lugar, o que a notação abreviada realmente significa? Poderíamos definir$\delta X_t$ do seguinte modo:
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
E depois $dX_t$ poderia ser (intuitivamente, não rigorosamente) compreendido ao longo das linhas de:
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
Mas eu acho que é melhor apenas entender a notação abreviada pelo que ela realmente é: isto é, uma abreviação para as integrais estocásticas.
Lema de Ito:
Agora, o Lema de Ito afirma que, para qualquer processo Ito, $X_t$, qualquer função duas vezes diferenciável $F()$ de $X_t$ e $t$ obedeceria a seguinte equação:
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
Acima, você pode identificar o termo " variação quadrática ":
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
(que, em notação "abreviada" pode ser escrita como $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, ou seja, exatamente igual ao seu $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, Eu só uso $F$ em vez de $f$ e $X_t$ em vez de $Y_t$: novamente, acho a notação abreviada muito menos intuitiva do que a notação longa, mesmo depois de anos brincando com processos Ito).
Por que não usar a notação abreviada
Agora, gostaria de mostrar um exemplo de por que acho que a notação abreviada pode ser super confusa: Vamos continuar com o processo de Ornstein-Uhlenbeck (abaixo, $\mu$, $\theta$ e $\sigma$ são parâmetros constantes):
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
Nós temos $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ e $b(X_t,t) = \sigma$.
O truque para resolver o acima é aplicar o lema de Ito a $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, que dá:
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
Agora, para obter a solução para $X_t$, a etapa final é simplesmente dividir os dois lados por $e^{\theta t}$, para isolar o $X_t$ termo no LHS, que dá:
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
Tenho visto muitas pessoas tentando resolver o Ornstein-Uhlenbeck escrevendo tudo usando a notação "abreviada" e, na última etapa, quando dividimos por $e^{\theta t}$, Tenho visto pessoas "cancelando" os termos que normalmente seriam escritos como $e^{\theta h}$ dentro das integrais: porque a notação abreviada falha em distinguir entre o que é uma variável dummy de integração (ou seja, "$h$") e o que já havia sido integrado a"$t$"
Concluindo, eu não recomendaria usar a notação curta para SDEs, e se você encontrar isso, eu encorajaria "traduzi-lo" para o que realmente significa (ou seja, a notação "longa"): pelo menos para mim , tornou as coisas muito mais fáceis de compreender.
Edição na variação quadrática : a variação quadrática para processos estocásticos é definida como um limite na probabilidade à medida que o tamanho da malha fica cada vez mais fino, especificamente para um movimento browniano, poderíamos escrever$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
Ou seja, a probabilidade de que a variação quadrática converge para $t$vai para 1 conforme o tamanho da malha fica infinitamente fino (a prova é bastante técnica, veja por exemplo aqui , onde eles realmente parecem provar convergência quase certa (o que implica convergência em probabilidade)).
Observe que podemos simplesmente escrever:
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ e, assim, obter a fórmula bem conhecida:
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$