Maior inteiro menor ou igual a $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
Esta é uma pergunta de entrada para o doutorado do TIFR 2020. A pergunta requer uma resposta explícita. Eu sei que as somas parciais são avaliadas usando a fórmula de Abel na Teoria dos Números, mas acredito que pode haver métodos melhores para séries desta forma. Alguém pode compartilhar seus pensamentos?
Respostas
Compare a soma com os integrais definidos apropriados:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
Além disso:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
Então, a soma está entre $1332$ e $1333$ e então sua parte integrante é $1332$.
Dica: considere a função$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ e usar o Teorema do Valor Médio para deduzir que $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Agora você pode somar e usar o fato de que quase tudo será telescópico.
Aqui está outra maneira de considerar a resposta fedorenta dos bispos. Esta é uma resposta derivada e exatamente igual à de Stinking Bishop. Estou apenas apertando os olhos e olhando de um ângulo diferente.
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
Agora $\int_a^b C dx = C[b-a]$ então $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ e $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ então
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Como observado $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
Mas também observe
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ pode ser reindexado como $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ que é igual a $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.
Então nós temos
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
E é facilmente verificado que se $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ então $M< n+1 \le M+1$ e entao $n\le M< n+1$ então $\lfloor M\rfloor=n$.
então $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.