Máxima entropia relativa entre um estado e seus marginais
Fundo
A entropia relativa quântica é definida para quaisquer estados quânticos$\rho, \sigma$Como
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
Para escolha arbitrária de$\rho,\sigma$, a entropia relativa quântica pode assumir qualquer valor não negativo. Considere algum estado bipartido$\rho_{AB}$e que suas marginais sejam$\rho_A$e$\rho_B$. Se considerarmos$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, temos a informação mútua. Além disso, temos que
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
Pergunta
O análogo único da entropia relativa é a entropia relativa máxima e é definido como
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
Onde$A\geq B$é usado para denotar que$A-B$é semidefinida positiva. Como a entropia relativa comum, a entropia relativa máxima também pode assumir qualquer valor não negativo. Se eu agora considero$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, existe um limite superior para o valor máximo que pode assumir?
Acredito que a resposta seja sim, já que o caso de$+\infty$está descartado devido ao apoio de$\rho_{AB}$estando contido no suporte de$\rho_A\otimes\rho_B$mas não foram capazes de encontrar um limite.
Respostas
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Um estado que satura o limite de informação mútua é$$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$Onde$N = \min(|A|,|B|)$e$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$são bases para$A,B$, respectivamente. Intuitivamente, este estado maximiza a entropia dos marginais enquanto mantém$A$e$B$perfeitamente correlacionados.
Este estado dá$I_{\max} = \log_2(N)$. Não provei que esse é um limite superior, mas parece um bom lugar para começar.