Melhor prova de uma desigualdade numérica de$e^x$

Aug 16 2020

A desigualdade é

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Provei dividindo em 3 casos:$-3<z<0$,$z=0$e$0<z<3$.

Por$z=0$, ambos os lados são iguais.

Os outros 2 casos são feitos com cálculo. Definir$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$e então substitua$|x|$por$x$ou$-x$adequadamente. Depois é só verificar as derivadas.

Mas, na minha opinião, é uma espécie de força bruta, então estou me perguntando se existe uma maneira mais rápida (mais inteligente) de mostrar isso.

Respostas

4 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:25

Observe que, se$|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}