Método de Calor (Crane et Al) Como escolhemos você?
O método do calor é um artigo muito interessante para cálculo de distância:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
A ideia por trás do artigo é que o calor viaja ao longo da superfície de um objeto essencialmente de maneira geodésica. E assim o tempo que leva para o calor viajar de um ponto quente para qualquer ponto em uma superfície está irreconciliavelmente correlacionado com a distância geodésica.
O artigo considera primeiro o caso analítico geral e, em seguida, sugere abordagens de discretização. O que me deixa muito confuso é a menção da função de fluxo de calor$u$pelo papel. Considere esta equação, por exemplo:
Esse é o operador laplaciano discreto aplicado a$u$ou$\Delta u$. Existem várias outras seções no documento que mencionam$u$. Da minha leitura,$u$parece ser uma função adequada que aproxima o fluxo de calor na superfície de uma variedade?
Eu realmente não vejo uma equação da forma$u = \text{expression}$nem vejo descrições de suas propriedades nem sugestões para um bom$u$função. O que é$u$? Onde fez$u$vem de onde? Onde fez$u$vai? Onde fez$u$vem de onde? cotan, eu, o?
Respostas
Pela minha leitura, u parece ser uma função adequada que aproxima o fluxo de calor na superfície de um coletor?
$u$é a função que descreve como sua quantidade se comporta/evolui em um determinado campo. No papel, a quantidade é a temperatura ou fluxo de calor, eu acho. No entanto, na maioria das vezes não há solução/fórmula analítica para$u$. É aqui que métodos como Finite Elements (FEM) entram em jogo. Ao discretizar seu campo, você pode aproximar sua função por partes$u$.
No seu caso, você usaria sua malha, que já é uma discretização da sua superfície. Seus elementos são os triângulos e você precisa definir como as quantidades nodais são interpoladas dentro de cada triângulo. --- Aqui, a interpolação linear é provavelmente o caminho a percorrer. Caso contrário, você precisa refazer a malha de sua geometria ou introduzir nós adicionais para aproximações de ordem superior.
Então você tem que atribuir a cada Nó/Vértice um valor inicial$u_0$conforme escrito na resposta de gilgamec. Depois, você constrói e resolve seu sistema de elementos finitos e obtém a distribuição nodal de$u$que realmente resolve sua equação ou sistema de equações. Quanto mais fina for a sua malha, melhor será a solução. Interpolações de ordem superior também ajudarão na precisão.
Então$u$ou seus valores nodais são o que você realmente está procurando, como lightxbulb disse em seu comentário. É a sua quantidade desconhecida.
Se isso não ajudar, talvez você queira ler alguma literatura sobre o método dos elementos finitos. Não posso dizer o quão úteis são os links a seguir, mas um breve vislumbre parecia promissor. Você vai ver, que eles usam$u$por todo o lugar. Então, espero que um deles ajude você:
- Uma introdução suave ao Método dos Elementos Finitos
- Notas de Curso do Método de Elementos Finitos PE281
- Introdução ao método dos elementos finitos
- análise de elementos finitos à mão
Eu também tinha um link para um bom tutorial online semelhante ao último link que forneci e que me ajudou muito a entender os fundamentos. Se eu encontrar o link, vou adicioná-lo à minha resposta.
Encontrei o link a que me referia. Infelizmente está em alemão:
- FEM Handrechnung
sim o campo$u$é neste caso uma difusão aproximada de calor através da superfície. É encontrado começando com o "conjunto inicial" de vértices; estes serão a fonte da difusão e terminarão como mínimos locais no campo de distância. Uma distribuição inicial$u_0$está configurado, com valor 1 no conjunto inicial e 0 em todos os outros. (Isso é descrito na página 92 do artigo que você vinculou, imediatamente sob o Algoritmo 1.)
A primeira etapa do algoritmo é executar uma única etapa da equação do calor, resolvendo a equação linear$(I - t\nabla)u = u_0$(equação 3 no artigo). O campo$u$você chega lá é a difusão de calor aproximada que você processa para obter o campo de distância.