Métrica inversa para decomposição 3 + 1

Aug 16 2020

Eu estava tentando ler sobre a decomposição 3 + 1 do espaço-tempo da seção 12.2 do livro Gravitation Foundations and Frontiers de Padmanabhan. No entanto, outras fontes também podem fornecer o contexto para minha pergunta.

Uma vez que o sistema de coordenadas $(t,y^\alpha)$ foi adotado no espaço-tempo da foliação, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, então podemos escrever (também o livro usa a convenção $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ ou os índices latinos representam o espaço-tempo e os índices gregos apenas no espaço), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Onde usamos o fato de que a tangente às curvas parametrizadas por $t$ é $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; e$N$é chamada de função de lapso e$N^\alpha$é chamado de vetor de deslocamento .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ são a tangente à hipersuperfície chamadas tétrades.

O elemento de linha (ao quadrado) agora se torna, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} aqui, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} A métrica pode ser lida a partir do elemento da linha acima, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} Em forma de matriz, \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

Minha dúvida é como calcular o inverso dessa métrica?

Eu tentei fazer isso, mas não consegui, exceto para o componente $g^{00}$e não tenho certeza se essa derivação está correta. Então, deixe-me descrever o processo a seguir.

Agora, como $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ no sistema de coordenadas $(t,y^\alpha)$. Portanto,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Onde usei o fato de que os vetores normais são definidos como $n_a=-N\partial_a t$ e a normalização para hipersuperfícies semelhantes ao espaço é tal que $n^an_a=-1$.

No livro, os componentes para a métrica inversa devem ser, \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

Portanto, a resposta que estou procurando é a derivação passo a passo da métrica inversa, dados os componentes da métrica e também se deve verificar se meu cálculo para $g^{00}$está correto. Obrigado.

Respostas

2 VacuuM Aug 22 2020 at 09:58

Deixe-me fazer isso de uma vez por todas. Embora a pergunta tenha sido respondida por spiridon, gostaria de fornecer uma derivação formal, pois a resposta de spiridon envolve suposições. Temos uma situação em que precisamos calcular o inverso de uma matriz particionada. Portanto, vamos primeiro derivar uma fórmula geral para o inverso das matrizes particionadas e, em seguida, aplicá-la à métrica.

Deixe dois não singulares $n\times n$ matrizes $A$ e $B$ ser particionado da seguinte forma, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Deixei $A_{11}$ e $B_{11}$ estar $k\times k$ matrizes com $k<n$. Devemos também assumir,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Agora se $B=A^{-1}$, então devemos encontrar as matrizes componentes de $B$ em termos das matrizes componentes de $A$. Nós temos,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Esta relação de matriz se reduz a, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} De (2) e (3) temos, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Substituindo-os em (1) e (4), obtemos, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Conseqüentemente, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Agora, substituindo estes em (2) e (3), obtemos, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Portanto, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Para o nosso propósito, seria conveniente expandir, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$em termos de identidade da matriz Woodbury . Primeiro, vamos derivar a identidade. Observe que,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Isso implica, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}dado que todos os inversos necessários existem! Então,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Portanto, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}A identidade acima é chamada de identidade de matriz Woodbury . Agora, identificando$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ e $V=A_{12}$, Nós temos, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Portanto, finalmente temos, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Depois de derivar essa fórmula geral, vamos voltar ao cálculo do inverso da métrica. Nós temos,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Agora, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Também observamos que, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Então,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} e \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} e finalmente, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Voila! Apreciar!

5 spiridon_the_sun_rotator Aug 16 2020 at 10:25

Bem, talvez haja uma maneira mais clara de fazer isso, sem algumas suposições. Eu começaria com a definição de uma matriz inversa:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ Ou mais concretamente: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Escrito em componentes: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Agora, usando a simetria de $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ sob a troca de $\mu \leftrightarrow \nu$, pode-se ver, que existem $ D(D+1) / 2$ equações lineares no mesmo número de desconhecidos, que podem ser resolvidos em princípio.

Fazer isso diretamente parece uma tarefa tediosa, portanto, pode haver um palpite. Supondo que soubéssemos disso$g^{00}$ é $-N^2$, em geral o ansatz pode ser $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, então a primeira equação é imediatamente resolvida configurando: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Então, pode-se olhar para a segunda linha. Aqui também é natural supor que$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, Onde $b^{\mu \nu}$também é simétrico. Esta substituição dá:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Aqui também, pode-se ver, que o $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ faz o trabalho.

1 haelewiin Aug 18 2020 at 21:14

Essa resposta estende um pouco a do spiridon e reformula partes da configuração do OP em uma linguagem ligeiramente diferente.

A métrica inversa $g^{-1}$, sendo um tensor, é independente de coordenada. Assim, uma maneira de determinar os componentes da métrica inversa em um sistema de coordenadas particular é derivá-lo de uma representação independente de coordenadas. A saber, se a métrica inversa em uma base$\{{\bf e}_a\}$ É dado por $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ então seus componentes são dados pela ação de $g^{-1}$ na base dupla $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ A decomposição 3 + 1 do espaço-tempo é realizada pelas superfícies niveladas (realmente hipersuperfícies) de um campo escalar $f$. Uma unidade normal é$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. Da unidade normal$n^a$ pode-se construir projetores paralelos ($P_\parallel$) e ortogonal ($P_\perp$) para ele. Seus componentes são dados pelas expressões$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Com esses projetores, pode-se determinar os componentes da métrica $g_{ab}$ em termos de foliação hipersuperficial: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ O campo tensor $h_{ab}$é a métrica induzida nas hipersuperfícies, já que toda contração dela com a normalidade da unidade desaparece. Da mesma forma, pode-se verificar que os componentes da métrica inversa satisfazem$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ Em uma determinada hipersuperfície $f=t$, introduz-se um conjunto de coordenadas de um parâmetro $y^\alpha$ que variam suavemente em função de $t$. Isso gera um conjunto de campos vetoriais$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$tangencial à hipersuperfície, que serve como um mapa de incorporação da hipersuperfície ao espaço-tempo. Em particular, a métrica induzida pode ser expressa em termos dessas novas coordenadas por meio da relação$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. Neste sistema de coordenadas, o vetor tempo$t^a$ geralmente não é ortogonal à hipersuperfície, mas pode ser decomposto em ortogonal $N$ e tangencial $N^\alpha$ partes: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Observe que $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ é dual para o vetor de tempo $t^a$. A substituição de \ eqref {decomposição} em \ eqref {inverso}, em seguida, produz$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Os componentes da métrica inversa no sistema de coordenadas dado podem então ser encontrados por contração: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Referências:

  • E. Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - capítulos 3, 4
  • E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Formalism and Bases of Numerical Relativity - capítulos 2, 3