Mostra isso $f(x) = x|x|$ é contínuo e diferenciável - verificação da solução?

Question

Outro exercício que fiz sem nenhuma solução.

Eu duvido que isso seja correto, então, por favor, me corrija :)

Deixei $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ser dado por $f(x):=x|x| .$ Mostra isso $f$ é contínuo e diferenciável em $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ então $f(x)$ é contínuo

Diferenciável: mostrar $f^{\prime}(x)$ existe em tudo $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Answer 1

A parte da continuidade está correta, mas não a parte da diferenciabilidade. Observe que$f(x)=x^2$ é $x\geqslant0$. Isto mostra que$f'(x)=2x$ é $x>0$ e que o derivado correto de $f$ em $0$ é $0$. Pelo mesmo argumento,$f'(x)=-2x$ é $x<0$ e a derivada esquerda de $f$ em $0$ é $0$. Então,$f$ é diferenciável em $\Bbb R\setminus\{0\}$ e, uma vez que as derivadas esquerda e direita em $0$ são ambos iguais a $0$, $f'(0)=0$. Em particular,$f$ é diferenciável em $0$ também.

Answer 2

Alternativamente,

• para $x<0$, $f(x)=-x^2$, que é diferenciável;

• para $x>0$, $f(x)=x^2$, que é diferenciável;

• em $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ confirma que a função é diferenciável.

Uma função diferenciável também é contínua.

Answer 3

Para $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

Para os limites da mão esquerda e direita de $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ Como $x\to 0$, ambos vão para $0$, então $f(x)$ é diferenciável em $0$.

Nota: para $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$