Mostrar um espaço vetorial normatizado é a soma direta de um subespaço fechado e um subespaço unidimensional.

Question

Abaixo está o exercício 7 dos espaços de Banach do chaper IV na Análise Real e Funcional de Lang:

Deixei $F$ ser um subespaço fechado de um espaço vetorial normado $E$, e deixar $v\in E, v\notin F$. Mostra isso$F+ \Bbb{R}v$está fechado. E se$E=F+ \Bbb{R}v$, mostre isso $E$ é a soma direta de $F$ e $\Bbb Rv$ (significando o mapa $\phi(f,rv)= f+rv$ é um isomorfismo linear superior de $F\times \Bbb Rv$ para $E$, ou seja, um homeomorfismo e isomorfismo).

Eu posso provar $F+ \Bbb{R}v$ é fechado olhando para o espaço quociente $E/F$. Como a imagem de$F+ \Bbb{R}v$ sob o mapa de quociente $\rho$ é homeomórfico para $\Bbb R$, é automaticamente fechado em $E/F$, cuja imagem inversa está fechada em $E$ pela continuidade de $\rho$. Mas$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, provando assim a proximidade de $F+ \Bbb{R}v$. Mas estou preso em mostrar a última afirmação. Basta mostrar que$\phi$ é um mapa aberto, o que equivale a mostrar $U_1+U_2$ está aberto se $U_1$ e $U_2$ são subconjuntos abertos de $F$ e $\Bbb Rv$, respectivamente. Lang menciona que esta é uma consequência fácil do teorema do mapeamento aberto, que é um resultado mais geral. No entanto, isso não pressupõe integridade de$E$? Tento usar a técnica de espaço de quociente, mas isso não parece se aplicar aqui, pois$U_1+U_2$não precisa ser saturado. Como devo proceder? Desde já, obrigado.

Answer 1

Deixei $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ ser definido por $\phi(f,rv):=f+rv$.

É contínuo, pois é a composição da adição e da multiplicação escalar. É claramente linear. É por hipótese, e um por um desde$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

Conseqüentemente $\phi$ é invertível e o que falta mostrar é $f+rv\mapsto(f,rv)$ é contínuo.

Pelo teorema de Hahn-Banach, uma vez que $F$ está fechado, há um funcionamento contínuo $\psi$ de norma unitária de tal forma que $\psi F=0$ mas $\psi(v)=t\ne0$. Deixei$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. Então$\pi$ é uma projeção contínua com imagem $\mathbb{R}v$ e kernel $F$, isso é \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Segue que $E=F\oplus\mathbb{R}v$.