Mostre essa classificação ( $A^{n+1}$) = classificação ( $A^n$) [duplicado]
Suponha $A$ é um $n \times n$ matriz ie $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, prove essa classificação ($A^{n+1}$) = classificação ($A^n$) Em outras palavras, preciso provar que seus espaços de intervalo ou espaços nulos são iguais. Se ajudar,$A$ é uma matriz singular.
Observe que não quero usar blocos de Jordan para provar isso. É possível provar isso sem usar o formulário Jordan? Posso usar o teorema da triangularização de Schur. Além disso, não se sabe se A é diagonalizável.
Respostas
$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ Obviamente, para cada $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, então se $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. E se$d_{m+1}=d_m$ para alguns $m$, então $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ e portanto $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. Ou seja, a sequência$d_0,d_1,\dots$torna-se constante quando para de descer.
Porque$d_0= n$, a sequência deve parar de descer dentro $n$ termos.
Edit: Para o problema que você formulou no comentário, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
Portanto$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.
Dica
Você pode provar isso por $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$
Portanto, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ implicaria a contradição $\mathrm{rank}(A) \gt n$.
Tudo depende de $n$. Portanto, este é um bom caso para indução completa sobre n.
n = 1: A = um real ou complexo e diferente de zero. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$
Para $n$ natural as hipóteses são $true$.
Para $n+1$ Uma mudança exatamente em uma linha ou coluna para o caso $n$. Esta linha ou coluna pode ser, mas não linear, dependente da outra formando o A para$n$. O implica implicitamente que pelo menos um elemento na coluna ou linha é diferente de zero exatamente na dimensão adicionada a A para$n$.
Agora podemos usar algumas das definições equivalentes para o $rank$de uma matriz quadrada. Com a restrição à generalidade, a linha ou coluna adicionada tem apenas um elemento diferente de zero. Isso atua como um fator, por exemplo, no desenvolvimento determinado ou é um novo autovalor ou a matriz A para$n+1$. Portanto, o determinante é diferente de zero, pelo menos nesse desenvolvimento, porque temos um valor diferente de zero e o conhecimento de que o determinante de nosso A para$n$ é diferente de zero e $rank(A)=n$.
A ideia principal para a etapa de indução é o anel de classificação de matrizes ou classificação conserse por multiplicação de uma matriz não singular em geral a$A$-se especialmente. Matrizes com diferente de zero$rank$preservar a classificação sob multiplicação. A multiplicação em consideração é comutativa porque nós apenas multiplicamos A. Esse é outro indicador para nossas hipóteses para$n+1$. Os valores próprios e a decomposição de Schur estão intimamente relacionados. Uma das matrizes na decomposição de Schur é uma matriz de triângulo superior. Portanto, aumentando a dimensão de$n$ para $n+1$ simplesmente adiciona outro último se for a última linha e coluna em um vetor de unidade com apenas um valor na nova dimensão.
A decomposição de Schur é equivalente à da matriz $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ tem a propriedade contando com a matriz $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. A matriz de$rank$ de um grupo e podem transformar-se uns nos outros sob a conservação do $rank$. E a prova está feita.