Mostre que uma função crescente tem derivada $0$ ae

Aug 18 2020

Deixei $0<p<1$ e definir $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ de $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ Onde $q=1-p$. Eu gostaria de provar isso$F'(x)=0$ ae

Estou trabalhando em "How to Gamble If You Must", de Kyle Siegerst, que é basicamente uma série de exercícios.$F(x)$ é a probabilidade de um jogador começar com um bankroll $0\leq x\leq 1$ alcançará seu alvo de $1$se ele se envolver em "jogo ousado" no jogo do vermelho e do preto. Quando seu bankroll é$\leq\frac12$ ele aposta tudo, ganhando o valor apostado com probabilidade $p$, e perdê-lo com probabilidade $q$. Quando seu bankroll é$>\frac12$, ele aposta apenas o suficiente para atingir o alvo, ou seja, $1-x$.

Nos exercícios, mostrei que existe uma função única $F$satisfazendo a equação funcional acima, e que é contínua e estritamente crescente. Exercício seguinte$33$, o autor observa que quando $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, para que $F$é uma escada do diabo. Tenho tentado provar essa afirmação. (Eu sei que uma função crescente é diferenciável ae É o valor com o qual estou tendo problemas.)

Vago $50$Memórias de um ano de idade da teoria da medida levaram-me à Proposição 3.31 na "Análise Real" de Folland, a saber

E se $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ Além disso, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae, e $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $

Aqui $m$ é a medida Lebesgue, e ae é com relação à medida Lebesgue. $\mu_F$ é a medida do Borel definida por $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Folland usa$NBV$ para significar isso $F$ é de variação limitada, $F(-\infty)=0$ e $F$está certo contínuo. Isso não é problema, pois podemos estender$F$ para $\mathbb{R}$ definindo $F(x)=0$ para $x<0$ e $F(x)=1$ para $x>1$.

Então, parece que se resume a mostrar $\mu_F\perp m$. Isso significa que existe um$E\subset[0,1]$ com $m(E)=0$ e $\mu_F(E)=1$se não estou errado. Não vejo como provar isso. Na verdade, não me parece nem um pouco provável, então devo interpretar mal alguma coisa.

No exercício 29, eu provei que $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ Onde $x_i$ é o número do bit $i$ do $x$, e $p_0=p,\ p_1=q$. (Quando$x$ é um racional diádico, tomamos a representação final.) Se representarmos, ganha por $1$ e perdas por $0$, isso significa que o jogador atinge a meta se e somente se a primeira vez que um bit em seu bankroll corresponder ao bit de jogo correspondente, esses bits serão ambos $1$. Esta é a representação mais concreta de$F$ no jornal, mas não vejo como isso ajuda.

Você pode lançar alguma luz sobre isso para mim?

Respostas

4 shalop Aug 21 2020 at 15:27

Primeiro observe que $F$ é o cdf da variável aleatória $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ onde o $\xi_n$ são iid Bernoulli?$(p)$variáveis aleatórias. Na verdade, é claro que$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, Onde $Y$ tem a mesma distribuição que $X$ e é independente de $\xi_1$. Isso dá a relação$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ qual é exatamente a relação para $F$.

Agora observe pela forte lei dos grandes números que $X$ é suportado no conjunto de números reais cuja expansão binária tem densidade assintótica $p$ do $1$(ou equivalentemente, tem densidade assintótica $q$ do $0$'s).

Mas o conjunto de todos esses números reais tem a medida de Lebesgue zero. Na verdade, se amostrarmos uniformemente um número real de$[0,1]$, então seus dígitos binários são iid Bernoulli$(1/2)$, portanto, quase certamente a densidade assintótica de $1$é $1/2$, não $p$.