Eu acho que a resposta é

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Prova

Suponha que escrevamos nosso número original como $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Então, a equação descrita no problema é $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Reorganizando dá $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ o que significa que $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Agora observe que o lado esquerdo é divisível por $19$ então o lado direito deve ser também, mas desde $a_0$ é coprime para $19$, Isso significa que $10^n - 2$ é divisível por $19$. Portanto, estamos procurando a menor potência de$10$ que é congruente com $2$ modulo $19$.

Atravessando poderes de$10$ modulo $19$ dá $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Portanto, o menor poder de$10$ que funciona é $10^{17}$. Conectar isso à nossa equação dá$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Claramente, não podemos escolher $a_0=1$ já que o lado direito terá poucos dígitos, mas se escolhermos $a_0=2$ (para atingir o mínimo), então parece seguro que teremos um $17$número de dígitos no lado direito e podemos escolher o resto do $a_j$apropriadamente à esquerda.

Isso significa que o menor$N$ quais trabalhos devem ser $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Verificação do computador

Trabalhar com um computador parece valer a pena $N$ acima é $105263157894736842$ e dobrar isso dá $210526315789473684$ então isso realmente funciona.

Mudando um dígito da direita para a esquerda

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