$N(\frac{1}{2},2)=3$ para vetores em um Espaço Hilbert

Question

Deparei com esta questão a respeito do número máximo de vetores quase ortogonais que podem ser embutidos em um espaço de Hilbert. Eles afirmam que$N(\frac{1}{2},2)=3$, e essa construção explícita dos vetores usando a esfera de Bloch mostra isso. No entanto, não consigo entender o que eles querem dizer com isso. Seu outro exemplo de$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$faz sentido para mim, já que esses são simplesmente os autovetores dos operadores pauli. Mas como mostrar que o número de vetores que atendem aos critérios a seguir é apenas 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Esta é uma maneira muito visual de pensar sobre isso (não afirmo que seja uma prova rigorosa). Deixei$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Cada um deles tem sobreposições de 1/2. Agora desenhe isso na esfera de Bloch. Eles são três vetores igualmente espaçados em torno de um grande círculo. Você não pode empurrar um para mais perto do outro, porque isso aumentaria sua sobreposição.

Agora, posso adicionar um quarto vetor? Qualquer vetor que eu adicionar à esfera, ele deve formar um ângulo de$\pi/2$ ou menos com um dos vetores existentes e, portanto, teria sobreposição $1/\sqrt{2}$ou melhor. Portanto, pelo menos para esta escolha de três vetores, não posso adicionar um quarto e manter o valor de$\epsilon$.

Com essa imagem em mente, você provavelmente também pode se convencer de que esses vetores devem ser selecionados dessa forma.$|V_1\rangle$é arbitrário, posso apenas orientar a visualização para que fique no topo da esfera. Para$|V_2\rangle$ Eu tenho uma liberdade de rotação arbitrária sobre o $V_1\rangle$eixo, então escolhi o componente ortogonal para ser real e positivo. Nesse ponto, minha escolha de$|V_3\rangle$ foi corrigido - havia apenas uma escolha possível que poderia ter a sobreposição correta.

Se a versão visual não faz isso para você, tenho certeza que alguém vai formalizar isso matematicamente ...