Norma do operador de um operador hermitiano
Quero provar o seguinte resultado mencionado em Sadri Hassani: -

A primeira desigualdade, ou seja,$|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$é direto da definição da norma de um operador. Para a desigualdade reversa, o autor mencionou o seguinte procedimento.

Não consigo descobrir como eles obtiveram a desigualdade usando o resultado acima. Além disso, acho que o resultado para$4\langle Hx|y\rangle $deveria ter um$-i$ao invés de$i$na igualdade.
Respostas
Com as escolhas dadas para$x$e$y$, Você tem isso$\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, então a igualdade se reduz a$$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$Também,$\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Então, usando a identidade do paralelogramo,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}