Número de quadrados entre dois números naturais

Question

Números naturais dados$m>n\in \mathbb{N}$quantos quadrados há entre$m$e$n$? ou seja, quantos números naturais$k\in \mathbb{N}$satisfazer isso$n \leq k^2\leq m$?

Acho que se conhecêssemos o maior quadrado$k^2=s\leq m$e o menor quadrado$\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, então o número de quadrados que estou procurando seria$k-\tilde{k}+1$, mas existe uma maneira simples de encontrar esses quadrados? Eu ficaria bem com limites que são funções do tamanho$m-n$.

Answer 1

O número de quadrados entre dois números naturais$m$e$n$=$\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Prova: Deixe$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$Onde$a$é o menor número natural cujo quadrado é maior ou igual a$n$e$a+s$é o maior número natural cujo quadrado é menor ou igual a m.

Agora, por simples observação,$\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$e$\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$e o número de quadrados entre os dois números naturais é$s+1$.