O inverso do Teorema Mestre de Ramanujan também é verdadeiro?

Question

O Teorema Mestre de Ramunajan afirma que se uma função de valor complexo$f(x)$ tem uma expansão da forma

$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$

então a transformação de Mellin de$f(x)$ É dado por

$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$

Aqui $\varphi(s)$ é alguma função (digamos analítica ou integrável).

Agora, o que dizer do contrário disso? Digamos que sabemos que a transformação de Mellin de$f(x)$ é igual a $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$, então é verdade que $f(x)$ tem uma expansão infinita na forma dada acima?

Não consegui encontrar nada sobre esta questão na Wikipedia ou em outro lugar.

Answer 1

Para uma conversão parcial do Teorema Mestre, observe que se $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ então $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ Os pólos de $\Gamma$ são simples e são inteiros não positivos, portanto, o resíduo em um inteiro $-t\le0$ é $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ Assim se $\varphi$ não tem singularidades e não tem raízes nos inteiros não positivos, então o teorema do resíduo fornece $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ qual é a declaração original.

Nos Relatórios Trimestrais de Ramanujan de Berndt ¹ , observa-se que

Na seção final do primeiro relatório, Ramanujan deriva certas expansões para quatro funções, assumindo que um tipo de teorema inverso ao Teorema Mestre é válido. Mais especificamente, ele determina uma série de potências para o integrando a partir do valor da integral. Na verdade, a conversão de Ramanujan ao Teorema Mestre segue da fórmula de inversão para as transformadas de Mellin. Embora Ramanujan tenha procedido formalmente, todos os resultados que obtém são, de fato, corretos.

_{(ênfase minha)}

As quatro funções consideradas são

1. $\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ Onde $p_*$ é a raiz positiva de $p^2-p-x$, dando $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;

2. $\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$, dando $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;

3. $\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ Onde $a\ge0$, $n>0$ e $x$ resolve $\log x=ax$, dando $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;

4. $\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ Onde $x$ resolve $aqx^p+x^q=1$ com $a>0$, $0<q<p$ e $0<pr<n$, dando $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$.

Evidentemente, em todos esses casos $\varphi$ não é analítico em todo o plano esquerdo, mas suspeito do cancelamento dos termos gama com $\Gamma(-s)$ pode ser o motivo pelo qual a identidade ainda se mantém.

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_Referência

_{[1] Berndt, BC (1984). Relatórios trimestrais de Ramanujan. Boletim da London Mathematical Society . 16 (5): 449-489.}