O Mathematica gera uma integral trigonométrica ($\sec^3$) de uma forma que não posso provar

Question

A integral indefinida é obviamente$1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

O Mathematica dá:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

o$1/2 \sec(x) \tan(x)$está lá, mas passei algumas horas tentando provar que o logaritmo do Mathematica realmente é$\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, e eu simplesmente não consigo! o$x/2$os meios-ângulos jogam uma chave inglesa nos trabalhos para mim. Eles parecem tão errados para mim, é como a fórmula do meio-ângulo ao contrário. Obtenho raízes quadradas onde gostaria de ver quadrados.

Tenho certeza de que estou perdendo algo óbvio, mas simplesmente não consigo ver!

Answer 1

Diferencie, combine os logaritmos e trabalhe de trás para frente usando as fórmulas de meio ângulo e a identidade$1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Você pode chegar lá sozinho se primeiro mostrar:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Para obter o resultado acima, observe o que acontece quando você coloca tudo em um denominador comum:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

O numerador é obviamente 1 pela identidade$\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$e o denominador é$\cos(x)$por meios ângulos. Para ver isso, expanda o denominador$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$para obter$d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Então nós temos$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$e$1/d$é$\sec(x)$

... e quanto ao resto da derivada:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Portanto:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)