O que acontece com as energias dos estados-limite em um poço quadrado infinito se colocarmos um pequeno passo de potencial no meio?
Estou me perguntando como (qualitativamente) as energias dos estados-limite em um poço quadrado infinito com uma pequena etapa potencial no meio mudam se mudarmos essa etapa potencial. O problema é muito semelhante a este post , mas eu gostaria especialmente de saber como as lacunas entre as energias mudam, se mudarmos a altura ou a largura do degrau potencial.
Tentei encontrar uma fórmula para as energias resolvendo o problema independente do tempo, mas não consegui encontrar uma solução clara (parecia mais uma equação transcendente, mas posso ter cometido alguns erros).
Respostas
Resolver as energias desse sistema analiticamente envolve resolver numericamente uma equação transcendental, se a memória não o fizer. Não há nada de errado com isso, mas pode ser um pouco difícil ver claramente as influências dos vários parâmetros no resultado.
Uma abordagem diferente é tratar esse problema com a teoria das perturbações. Já que você está assumindo que a altura do degrau é pequena$^\dagger$, um bom começo seria calcular as correções de primeira ordem para os autovalores de energia.
Explicitamente, deixe seu hamiltoniano ser $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$
Este é o Hamiltoniano para um poço de potencial infinito com um passo potencial de largura $a$ e altura $\lambda$no centro. Para o primeiro pedido em$\lambda$, as energias corrigidas são simplesmente $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ Onde $E_n^{(0)}$ e $\psi_n^{(0)}$são as energias não corrigidas e os autovetores (normalizados), respectivamente. Nós já sabemos o que são a partir da solução elementar do potencial infinito, então avaliando essa integral você pode ver como essas energias irão mudar quando você introduzir o degrau - pelo menos enquanto a altura do degrau for pequena.
$^\dagger$O que significa para um operador ser pequeno pode ser uma questão sutil. Neste caso, queremos que$\lambda$ser muito menor do que o valor esperado do hamiltoniano não perturbado em qualquer estado de interesse. Neste caso, isso seria realizado se
$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$
E se $\lambda$ excede esse limite, a correção de primeira ordem não será mais uma boa aproximação de como a energia terá mudado.