O que acontece com as energias dos estados-limite em um poço quadrado infinito se colocarmos um pequeno passo de potencial no meio?

Dec 17 2020

Estou me perguntando como (qualitativamente) as energias dos estados-limite em um poço quadrado infinito com uma pequena etapa potencial no meio mudam se mudarmos essa etapa potencial. O problema é muito semelhante a este post , mas eu gostaria especialmente de saber como as lacunas entre as energias mudam, se mudarmos a altura ou a largura do degrau potencial.

Tentei encontrar uma fórmula para as energias resolvendo o problema independente do tempo, mas não consegui encontrar uma solução clara (parecia mais uma equação transcendente, mas posso ter cometido alguns erros).

Respostas

2 J.Murray Dec 21 2020 at 19:49

Resolver as energias desse sistema analiticamente envolve resolver numericamente uma equação transcendental, se a memória não o fizer. Não há nada de errado com isso, mas pode ser um pouco difícil ver claramente as influências dos vários parâmetros no resultado.

Uma abordagem diferente é tratar esse problema com a teoria das perturbações. Já que você está assumindo que a altura do degrau é pequena$^\dagger$, um bom começo seria calcular as correções de primeira ordem para os autovalores de energia.

Explicitamente, deixe seu hamiltoniano ser $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$

Este é o Hamiltoniano para um poço de potencial infinito com um passo potencial de largura $a$ e altura $\lambda$no centro. Para o primeiro pedido em$\lambda$, as energias corrigidas são simplesmente $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ Onde $E_n^{(0)}$ e $\psi_n^{(0)}$são as energias não corrigidas e os autovetores (normalizados), respectivamente. Nós já sabemos o que são a partir da solução elementar do potencial infinito, então avaliando essa integral você pode ver como essas energias irão mudar quando você introduzir o degrau - pelo menos enquanto a altura do degrau for pequena.


$^\dagger$O que significa para um operador ser pequeno pode ser uma questão sutil. Neste caso, queremos que$\lambda$ser muito menor do que o valor esperado do hamiltoniano não perturbado em qualquer estado de interesse. Neste caso, isso seria realizado se

$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

E se $\lambda$ excede esse limite, a correção de primeira ordem não será mais uma boa aproximação de como a energia terá mudado.