O que se entende por lógica 'fraca'?

Question

The Stanford Encyclopedia of Philosophy, sv "Modal Logic" , afirma,

As lógicas mais familiares na família modal são construídas a partir de uma lógica fraca chamada K (em homenagem a Saul Kripke) ...

As referências a 'fraco' e 'fraco' são relativamente frequentes nas perguntas feitas neste site, por exemplo , lógica fraca de segunda ordem . Mas nem as respostas dadas sob esse título específico, nem as explicações de fraqueza, como a dada em O que significa um axioma ser "mais fraco" do que outro? me explique qual pode ser a fraqueza de "uma lógica" ou de algum outro sistema inteiro.

O que se entende por "uma lógica fraca"?

Answer 1

Uma lógica é mais forte quanto mais teoremas ela prova e, como corolário, menos modelos ela tem.
Quanto mais axiomas houver e mais específico for um axioma (no sentido de que A é mais específico do que B se A implica B, mas B não implica A), mais fórmulas serão deduzidas desses axiomas: A lógica é forte no sentido de que consegue provar muitas sentenças.
Por outro lado, quanto mais uma teoria requer para ser verdadeira, mais difícil se torna para uma estrutura satisfazer todos os axiomas, portanto, menos modelos haverá: Uma lógica é forte no sentido de que consegue expulsar muitas estruturas e deixa apenas algumas possibilidades de como o universo poderia ser.

A lógica modal K possui apenas uma regra e um axioma, ou em termos da relação de acessibilidade, nenhuma restrição. Portanto, qualquer estrutura modal pode satisfazer essa teoria, e não há tantos teoremas que possam ser derivados apenas desse axioma e que consigam ser universalmente verdadeiros em todas essas muitas estruturas, neste cenário mais geral.
Ao adicionar mais axiomas ou restrições à relação de acessibilidade, mais estruturas são descartadas. Assim, mais sentenças podem ser provadas e conseguem ser verdadeiras em todos esses menos modelos, nesta teoria mais específica. Teorias como T, S4, S5 são, portanto, mais fortes do que K.

Observe que essa definição falha se a lógica for inconsistente e incorporar a lei clássica da explosão: então a lógica prova todas as afirmações e não tem modelos - o que pelos critérios acima a tornaria indefinidamente forte; mas não é isso que queremos intuitivamente, porque essa lógica é trivial. (Embora note que este tratamento clássico não é uma necessidade: existem lógicas que não fazem explodir automaticamente teorias inconsistentes; cf. lógica paraconsistente).