O que significa que o modelo pode refletir o "sorriso de volatilidade"

Question

Eu sei que a volatilidade implícita é o valor para o qual o modelo Black Scholes retorna o preço de opção correto. Também sei que, se traçarmos a volatilidade no gráfico do preço de exercício, veremos um "sorriso". Isso significa que o modelo de Black Scholes é inadequado para avaliação porque pressupõe volatilidade constante. Mas o que significa que outro modelo (por exemplo, o modelo Kou) pode refletir o sorriso de volatilidade? Este modelo também assumiu volatilidade constante. Isso significa que no modelo de Kou o gráfico da volatilidade implícita é mais plano, ou seja, que a volatilidade é mais constante em relação ao strike e ao vencimento?

Answer 1

Um modelo que reflete o sorriso de volatilidade é aquele com uma dinâmica que aproxima a precificação que produz um sorriso de volatilidade implícita. No entanto, sua pergunta me faz suspeitar que você está confuso em algumas dessas peças, então vamos examinar isso com mais detalhes.

Volatilidades Implícitas $\implies$ Preço correto?

Você mencionou que a volatilidade implícita no modelo Black-Scholes fornece o preço "correto". Isso é um pouco ousado, pois não sabemos o preço correto. Podemos presumir que o preço correto é determinado apenas pelos preços de mercado ou por algum modelo, se você acreditar em possíveis ineficiências. (Observe que, pelo argumento Grossman-Stiglitz, você deve acreditar em ineficiências por curtos períodos de tempo).

As volatilidades implícitas são apenas as volatilidades que igualam os preços de mercado e os preços de Black-Scholes ( ou seja, implícitas no modelo de Black-Scholes).

Sorria ou sorria?

Você também mencionou o sorriso de volatilidade, embora essa forma não seja universal. Port-1987 na maioria dos mercados de ações, o "sorriso" tem sido mais um sorriso malicioso : assimétrico com volatilidade muito maior para preços de exercício mais baixos. Para commodities, o sorriso é muito mais pronunciado com as volatilidades implícitas sendo muito mais altas à medida que o preço de exercício aumenta.

Black-Scholes é impróprio?

Assumir a volatilidade constante significa que o modelo Black-Scholes é inadequado para avaliação? Não. O preço da Black-Scholes divergindo sistematicamente dos preços de mercado significa que o modelo está errado, mas "todos os modelos estão errados", como George Box notoriamente observou. No entanto, o modelo Black-Scholes ainda é útil - e, portanto, apropriado.

Por que Black-Scholes diverge dos preços de mercado

Os modelos de Black-Scholes e Merton presumem um equilíbrio parcial (nenhuma interação entre comprador e vendedor na definição de preços) e limites para log-retornos que convergem para a normalidade. Isso torna a matemática mais fácil - embora discorde do que observamos.

Existem três forças que discordam das suposições de Black-Scholes:

• Sabemos que a volatilidade não é constante ao longo do tempo. Isso geralmente não é um fator importante, mas ajuda a explicar por que às vezes olhamos para as superfícies de volatilidade .
• Mais importante: acreditamos que os retornos dos ativos apresentam caudas grossas ; a probabilidade de retornos de log incomuns é maior do que a normalidade sugere. Isso significa que as opções out-of-the-money têm mais probabilidade de expirar dentro do dinheiro do que Black-Scholes sugere - e, portanto, valem mais do que o preço de Black-Scholes. Isso é verdade mesmo se adivinharmos a volatilidade subjacente corretamente. O mercado entende isso e então o preço de mercado é mais alto. Isso faz com que as volatilidades implícitas sejam mais altas para os preços de exercício, longe do preço subjacente atual.
• Também crucial: os investidores não gostam mais de perdas do que de ganhos. Isso faz com que os investidores estejam dispostos a pagar mais pela proteção contra o lado negativo do que pagariam pelo lado positivo: as opções de venda são mais caras do que até mesmo caudas grossas sugeririam.

Junte tudo isso e as volatilidades implícitas ficarem mais altas em relação ao preço subjacente atual se deve às caudas grossas e à preferência dos investidores em evitar perdas. Se inferirmos essas volatilidades implícitas de opções de venda e de compra e, em seguida, plotá-las pelos preços de exercício dessas opções de venda e de compra, obtemos uma curva que é, de fato, mais alta à medida que nos afastamos (preços de exercício de ATM, ou seja , o preço subjacente atual) .

O que mantém o Black-Scholes apropriado?

O que mantém o modelo de Black-Scholes adequado é o comportamento regular dessa curva de volatilidade. Um bom modelo pode ser ajustado para torná-lo melhor - e o modelo Black-Scholes nos permite fazer exatamente isso. Podemos usar volatilidades implícitas mais altas para preços de exercício fora do caixa eletrônico para corrigir caudas grossas e investidores que não gostam mais de perdas do que de ganhos.

Como um modelo pode refletir a curva de volatilidade?

Depois de entender tudo isso, é fácil ver como um modelo pode refletir melhor a curva de volatilidade: ele pode permitir a variância não constante, caudas mais grossas e a preferência dos investidores para reduzir o risco de queda.

O modelo Kou reflete a curva de volatilidade? Reflete melhor, porque incorpora saltos (que efetivamente resultam em caudas mais grossas). O modelo de volatilidade de Heston também tem caudas mais grossas e, portanto, reflete melhor a curva de volatilidade.

Alguém poderia fazer melhor do que esses modelos? Sim: também incorporar maior aversão aos investidores por retornos negativos seria inteligente. Os modelos exponencial-GARCH acomodam isso, mas você precisaria modificar o modelo Kou ou Heston para fazer o mesmo.