Os autovetores da matriz simétrica real são todos ortogonais?

Aug 16 2020

Como aprendi em álgebra linear, uma matriz simétrica real $A$ sempre tem autovetores ortogonais, então $A$ é ortogonalmente diagonalizável. Mas os autovetores da matriz simétrica real são todos ortogonais?

De fato, $A$ é diagonalizável, então podemos encontrar invertível $P$ e $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Mas não posso provar $P$ é ortogonal. Eu só posso descobrir que $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ então $P^{T}PS=SP^{T}P.$Isso não pode mostrar que $P^{T}P=I_{n}.$

Então é isso $P$ortogonal? Se não, qual é sua relação com os autovetores ortogonais?

Aliás, eu tive esse problema quando estava lendo uma nota de aula.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf

Acho que a maneira dele de provar que qualquer matriz simétrica tem autovetores ortogonais está errada.

Qualquer ajuda será agradecida.

Respostas

6 DavidC.Ullrich Aug 16 2020 at 19:42

O teorema nesse link dizendo $A$"tem autovetores ortogonais" precisa ser declarado com muito mais precisão. (Não existe um vetor ortogonal, então dizer que os vetores próprios são ortogonais não faz muito sentido. Um conjunto de vetores é ortogonal ou não, e o conjunto de todos os vetores próprios não é ortogonal).

É obviamente falso dizer que quaisquer dois vetores próprios são ortogonais, porque se $x$ é um autovetor, então é $2x$. O que é verdade é que os autovetores correspondentes a diferentes autovalores são ortogonais. E isso é trivial: suponha$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Então$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$então $x\cdot y=0$.

Esse pdf está errado? Existem sérios problemas com a declaração do teorema. Mas assumindo que o que ele realmente quis dizer é o que eu disse acima, a prova provavelmente está certa, já que é tão simples.

3 egreg Aug 16 2020 at 20:22

Na verdade, você não pode provar que uma matriz que diagonaliza $A$ é ortogonal, porque é falso.

Por exemplo, pegue $A=I$(a matriz de identidade). Qualquer matriz invertível$P$ diagonaliza $I$, mas é claro $P$ não precisa ser ortogonal.

E se $A$ tem $n$ autovalores distintos (onde $A$ é $n\times n$), então a afirmação é verdadeira, porque os autovetores correspondentes a diferentes autovalores são ortogonais (consulte a resposta de David C. Ullrich ).

Caso contrário, você precisa ter uma base de autovetores; então, para cada autovalor$\lambda$, você pega os vetores próprios na base correspondente a $\lambda$e ortogonalizá-lo. Então você obtém uma base ortogonal de autovetores.

E sim, a prova nas notas de aula está errada: usando $A=I$, o argumento provaria que toda matriz invertível é ortogonal, o que é obviamente falso.