Os elementos de dois subgrupos normais abelianos comutam?

Question

então $H$ e $K$são subgrupos abelianos normais de algum grupo. É verdade para todos$h \in H$ e para todos $k \in K$ este $hk=kh$? Não acho que a afirmação seja válida, mas não consigo encontrar um contra-exemplo (bastante simples).

Answer 1

Deixei $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ seja o grupo quaternion da ordem $8$. Considerar$H=\{\pm1,\pm i\}$ e $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

O contra-exemplo mais fácil é o grupo diédrico $D_8$, digamos gerado por $a$ de ordem $4$ e $b$ de ordem $2$. Cada elemento de$D_8$ está em um subgrupo normal de ordem $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ e $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Estes são, obviamente, todos abelianos, uma vez que têm ordem$4$. Se sua declaração for válida, então$D_8$ seria, portanto, abeliano, o que obviamente não é.

O exemplo de $Q_8$das outras duas respostas é perfeitamente válido, é claro. Na verdade, se$G$ é qualquer grupo não abeliano de ordem $p^3$ então, cada elemento está em um subgrupo de ordem $p^2$ (que é necessariamente abeliano e normal), e assim cada grupo não abeliano de ordem $p^3$ é um contra-exemplo.

Answer 3

Qualquer grupo hamiltoniano lhe dará um contra-exemplo por definição, já que qualquer subgrupo cíclico é abeliano e normal, mas você pode encontrar dois subgrupos cíclicos com geradores que não comutam.

O menor desses exemplos é o grupo quaternion $Q_8$.