Os sistemas inconsistentes podem ser matematicamente interessantes / úteis?
De acordo com a principal resposta a esta pergunta:
Fazendo matemática, muitas vezes temos uma ideia de um objeto que desejamos representar formalmente, essa é uma noção . Em seguida, escrevemos axiomas para descrever essa noção e tentar ver se esses axiomas são contraditórios. Se não forem (ou se não pudéssemos provar que são), começamos a trabalhar com eles e eles se tornam uma definição . Os matemáticos são guiados pela noção, mas trabalham com a definição. Raramente a noção e a definição coincidem, e você tem um objeto matemático que é exatamente o que nossa intuição [os matemáticos] nos diz que deveria ser.
Formalizar nossas intuições matemáticas parece ser um negócio complicado, especialmente porque nossas intuições são freqüentemente contraditórias, levando a todos os tipos de paradoxos verídicos intrigantes. Além disso, Gödel mostrou que ele não pode ser feito de uma maneira que seja consistente e completa, então quando nós fazer encontrar uma formalização não-contraditória, temos que sacrificar completude.
Mas e se abandonarmos a consistência em vez disso? Sistemas inconsistentes, em vez de sistemas consistentes, podem nos permitir formalizar nossas intuições (frequentemente inconsistentes) de forma mais realista, embora também menos útil.
Infelizmente, o princípio da explosão parece implicar que tal sistema é basicamente sem sentido, pois cada afirmação seria verdadeira e falsa. No entanto, pode haver alguma maneira de contornar isso. Por exemplo, poderíamos restringir as regras de inferência lógica de uma forma que evite o princípio da explosão. Ou poderíamos restringir todas as provas abaixo de um certo comprimento (correspondendo ao número limitado de passos intuitivos que uma pessoa pode realizar em sua cabeça ao mesmo tempo).
Isso já foi tentado antes? Poderia ser esclarecedor / útil como um modelo de intuição matemática humana?
NOTA: De um ponto de vista mais filosófico do que matemático, muitas religiões / sistemas de pensamento ficam felizes em sacrificar consistência para acomodar as contradições inerentes à intuição humana. O Zen Budismo é provavelmente o exemplo mais conhecido, e o Taoísmo faz algo semelhante, embora menos extremo. Eu também estava lendo o livro "Ortodoxia" de GK Chesterton no qual ele descreve seu sistema de crenças (ele é um cristão), e ele afirma que a adesão total à lógica e à razão leva à insanidade e consequências absurdas, e falha em capturar a riqueza da contradição em pensamento e realidade.
Respostas
Sim, esses sistemas foram realmente investigados - os termos-chave incluem "lógicas paraconsistentes" e "lógicas de relevância". Re: sources, Chris Mortensen escreveu um artigo resumido e um livro sobre o assunto, embora o último tenha alguns problemas (veja aqui ).
Outro termo importante aqui é "dialeteísmo". Grosso modo, lógicas paraconsistentes, etc., são tolerantes a paradoxos no sentido de que, para uma teoria em tal lógica, uma mera inconsistência não implica trivialidade. Dialeteísmo é a postura filosófica de que existem verdadeiras contradições. Graham Priest escreveu muito sobre o assunto (veja, por exemplo, aqui ).
Dito isso, não estou realmente ciente de nenhuma tentativa plausível de contornar o primeiro teorema da incompletude desta maneira: não conheço nenhum candidato natural para uma teoria em uma lógica paraconsistente que é axiomatizável computacionalmente, contém $\mathsf{Q}$como uma subteoria (digamos), é completa e é plausivelmente não trivial. Podemos contornar o segundo teorema da incompletude em um sentido fraco, no entanto: o livro de Mortensen discute uma aritmética de relevância particular que contém os clássicos de primeira ordem$\mathsf{PA}$ mas cuja não trivialidade é $\mathsf{PA}$-demonstrável. (Uma vez que a não trivialidade não implica consistência neste contexto, isso na verdade não viola o segundo teorema da incompletude.) Outra aplicação notável é a capacidade da lógica paraconsistente de dar sentido à teoria ingênua dos conjuntos; veja, por exemplo, aqui .