Par L-tromino!

Question

Amy está brincando com diferentes poliominós. De repente, ela pensa em um problema como segue.

Escolha dois inteiros positivos $m,n$. Se pudermos usar apenas L-trominos para tesselar um$m\times n$ retângulo sem lacunas, sobreposições ou qualquer quadrado pendurado nos retângulos, então chamamos o par $(m,n)$ Par L-tromino.

Ela chama seu irmão de Ben e o gênio e tenta descobrir todos os pares de L-trominó. O gênio é superinteligente e encontrou todos eles com uma prova. Você pode?

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Problema sozinho.

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Aqui está uma foto de L-tromino, se você quiser vê-la:

Answer 1

Obviamente, ambas as dimensões de um retângulo ajustável devem ser pelo menos $2$. Além disso, uma vez que a área de um tromino é$3$, a área de um retângulo ajustável é um múltiplo de $3$e, portanto, pelo menos uma das dimensões é um múltiplo de 3.

Primeiro, alguns casos fáceis:

$3k\times2n$: Dois trominós formam um $3\times2$retângulo. Portanto, qualquer$3k\times2n$ retângulo é trivialmente ajustável.

$6k\times(2n+3)$: Este retângulo se divide em um $6k\times3$ e um $6k\times2n$ retângulo, ambos os quais são instâncias do caso trivialmente ajustável acima.

O caso mais complicado é este:

Os casos acima tratam de todos os retângulos onde uma das dimensões é par. Portanto, agora restam apenas aqueles com dimensões estranhas.

$9\times5$: Este retângulo pode ser lado a lado:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Qualquer retângulo com dimensões ímpares, uma dimensão um múltiplo de 3 e não menor que $9\times5$, pode ser colocado lado a lado. Você pode criar um retângulo de tamanho$6k\times(2n+5)$ que já foi demonstrado ser ajustável para reduzi-lo a $9\times(2n+5)$. Você pode, então, criar um retângulo ajustável de tamanho$9\times2n$, deixando o tileable $9\times5$.

Agora só falta mostrar que$3\times(2n+1)$não é tileable. Isso é bastante óbvio quando você tenta. A única maneira de preencher a borda curta do retângulo criará um$3\times2$quadra. Portanto, o retângulo inevitavelmente é reduzido ao até que$3\times1$forma.

Para recapitular, os pares L-trominó são$(m,n)$ Onde $m,n\ge2$, pelo menos um de $m$ ou $n$ é divisível por 3 e, se ambos forem ímpares, $m,n\ge5$.