Para descrever um trivector invariante na dimensão 8 geometricamente
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$Deixar $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, e deixar $R$ denotam a representação natural bidimensional de $G$ dentro ${\Bbb C}^2$. Para um inteiro$p\ge 0$, Escreva $R_p=S^p R$; então$R_1=R$ e $\dim R_p=p+1$.
Usando a Tabela 5 do livro de Onishchik e Vinberg, calculei que a representação $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$contém a representação trivial com multiplicidade um. Usei a mesa como uma caixa preta.
Pergunta. Deixar$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$denotam o subespaço unidimensional correspondente. Como se pode descrever$V$como um subespaço geometricamente ?
Motivação: Eu quero considerar um$\operatorname{PGL}(2,k)$-trivector corrigido $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ do espaço vetorial de 8 dimensões $W=R_2\oplus R_4$ sobre um campo $k$ da característica 0, e então torcer tudo isso usando um Galois-cociclo de $\operatorname{PGL}(2,k)$. Para este fim, preciso de uma descrição geométrica de$V$.
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Respostas
Aqui está outra interpretação muito boa (mas ainda algébrica) que explica um pouco da geometria: Lembre-se de que $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ tem um $2$-para-$1$ representação em $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ de modo que a álgebra de Lie se divide como $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ Onde ${\frak{m}}$ é o ($5$-dimensional) complemento ortogonal de ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ usando a forma de matar de ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. Observe que${\frak{m}}$ é um irredutível ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-módulo, e que cada elemento $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ pode ser escrito exclusivamente como $x = x_0 + x_1$ com $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ e $x_1\in{\frak{m}}$. Observe também que$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
Isso define o emparelhamento desejado ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: Enviar $(x_0,y_1,z_1)$ para $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. Claro, isso torna o$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-invariância do emparelhamento óbvio.
Para uma construção puramente geométrica, veja mais abaixo, após as seguintes considerações algébricas.
Há um isomorfismo Wronskiano que, como um caso particular, diz que a segunda potência exterior de $R_4$ é isométrico à segunda potência simétrica de $R_3$. Portanto, o invariante em questão é$I(Q,C)$, um invariante conjunto em um quadrático binário $Q$ e uma cúbica binária $C$, que é linear em $Q$ e quadrático em $C$. Isso é de fato único em escala e é dado em notação simbólica clássica (ver, por exemplo, Grace e Young) por$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ Onde $Q=a_{x}^{2}$ e $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
Outra construção é começar a partir do discriminante binário e polarizá-lo para obter uma forma bilinear (o único invariante em $R_2$), e aplicar esta forma bilinear a $Q$ e o Hessian de $C$.
Se alguém não quiser usar o isomorfismo Wronskiano, o invariante seria $J(Q,F_1,F_2)$, trilinear no quadrático $Q$ e as duas quartas binárias $F_1,F_2$. Isso satisfaria a antissimetria$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ e seria dado em forma simbólica por $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ Onde agora $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, e $F_2=c_{x}^{4}$.
Construção geométrica:
Considerar $\mathbb{P}^1$ incorporado por Veronese como uma cônica $\mathscr{C}$ dentro $\mathbb{P}^2$. Um quadrático binário$Q$ corresponde a um ponto em $\mathbb{P}^2$. Uma cúbica binária$C$ corresponde a um divisor ou uma coleção não ordenada de três pontos $\{P_1,P_2,P_3\}$ sobre $\mathscr{C}$. Deixar$T_1, T_2, T_3$ sejam as tangentes à cônica em $P_1,P_2,P_3$. Considere os pontos de intersecção$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. Eles estão alinhados e, portanto, definem uma linha$L$. O desaparecimento do invariante$I(Q,C)$ detecta a situação onde o ponto $Q$ está na linha $L$. Não me lembro se o resultado de colinearidade que mencionei tem nome, mas é um caso degenerado do Teorema de Pascal.