Para mostrar que o integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ converge e é menor ou igual que $n^{3/2}\pi$ [duplicado]

Question

Considere um polinômio $p \in \mathbb{R}[x]$ de grau $n$e sem raízes reais. Provar que$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$converge e é menor ou igual que $n^{3/2}\pi$

Minha abordagem

Agora deixe $x_1, x_2, \dots, x_n$ ser as raízes de $p$. Por Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Não sei o que fazer a seguir. Se eu estiver errado, forneça uma resposta detalhada na seção de respostas. Mostrei o que pensei ou o que fiz.

Alguém pode confirmar se meu processo de pensamento está certo?

Apenas um lembrete ... Esta questão está sem resposta há muito tempo

Obrigado.

Answer 1

Em primeiro lugar, podemos definir: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$

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Agora, pelo teorema multinomial: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ A partir disso, você deve ser capaz de encontrar uma expressão para: $p_n^2$ e $p_n'^2$.

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Agora também observe que pelo que sabemos (devido a não haver raízes reais): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ nós sabemos isso: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ e então é claro que: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$