Para um número inteiro positivo $n\geq 2$ com divisores $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, prove isso $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Question

IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ ser um número inteiro positivo com divisores $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Provar que$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ é sempre menor que $n^2$, e determinar quando é um divisor de $n^2$

Estou tentando fazer essa pergunta, mas fico sem ideias, alguém poderia dar uma dica ou sugestão? Por favor, sem me dar a solução.

Estou tentando usar o fato de que o produto de $d_i$*$d_{i+1}$ é um divisor de $n^2$ (e eles são todos diferentes) e talvez tente usar a fórmula para a soma dos divisores para ver se essa soma específica é menor que $n^2$

Answer 1

Dica 1: quão grande pode $d_{k-1}$ ser em função de $n$? A respeito$d_{k-2}$?

Dica 2: Deixe $p$ ser o menor fator principal de $n$. O que você pode dizer sobre$d_{k-1}$ em termos de $n,p$? Qual é o maior divisor (adequado) de$n^2$?

Answer 2

Desde a $d$ é um divisor de $n$ se e apenas se $n/d$ é, nós temos $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {desde $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\certo]$}$$

Para a segunda parte, vamos $n$ ser composto e $p$ ser o menor fator principal de $n$. Então nós temos$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Agora se $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ é um divisor de $n$ então devemos ter $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Mas$p>\frac{n^2}{N}$ é uma contradição, pois $p$ é o menor divisor primo de $n^2$. então$N\mid n^2$ se e apenas se $n$ é um primo.