Passeio não tão aleatório

Jan 18 2021

Saí para uma longa caminhada e estou entediado, então decido caminhar de maneira matemática.

A primeira imagem mostra os primeiros 500 passos e a segunda imagem é o meu caminho após 50000 passos. As cores são principalmente para fins de visualização.

Meu caminho não é aleatório, então como o selecionei? Por favor, deixe-me saber se você precisar de dicas.

Respostas

20 Glorfindel Jan 18 2021 at 01:55

Parece que você começou

desenhando um ponto para $n=0$ em (1, 0)

e depois

processo para caminhar "para o leste" (na direção x positiva) e desenhar um ponto para cada $n$

e

faça uma curva de 90 ° à esquerda quando $n$ é principal.

4 Stefan Jan 18 2021 at 22:50

Glorfindel resolveu isso em alguns minutos, mas para seu entretenimento, gostaria de mostrar a "solução" como um script Python. Baixe o arquivo de números primos dehttps://primes.utm.edu/lists/small/millions/

Observe que o código pode ser otimizado. Ele atualiza a figura para 1 milhão de etapas em cerca de um minuto no meu pc.

(desculpe, não é possível envolver o código em tags de spoiler)

# -*- coding: utf-8 -*-
import os

#Use seperate window for plot (when run from Spyder)
if any('SPYDER' in name for name in os.environ):
    from IPython import get_ipython
    get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt')

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fib(n):
    #iterator for Fibonacci sequence
    a, b = 1, 1
    for _ in range(n):
        yield a
        a, b = b, a + b
        
def annot(plist, index, ymax):
   x=plist[index][1]
   y=plist[index][2]
   p=plist[index][0]        
   plt.annotate(str(p),xy=(x,y),xytext=(x+10,y+ymax//10), 
             arrowprops=dict(arrowstyle= '->', color='blue',lw=0.5)  ) 

def readPrimes():
    # read prime  number sequence from file
    #fileName = 'primes-to-100k.txt' ## from https://www.mathsisfun.com/numbers/prime-number-lists.html
    fileName = 'primes1.txt' ## from https://primes.utm.edu/lists/small/millions/
    with open(fileName) as f:
        #skip header
        for i in range(3):
            _ =f.readline()
        strPrimes=f.read().split() 
        
        return np.array([int(p) for p in strPrimes])
    return None


def sequenceSnake(N=1000, D=4, sequence =None):
    if sequence is None:
        primes=np.array(readPrimes())
        sequence=primes
    
    def isInSequence(n):
       index=np.searchsorted(sequence,n)
       return n==sequence[index]
    
    def getCoords4(pos, dir):
       x=pos[0]
       y=pos[1]
       if dir==0:
          return x+1,y
       if dir==1:
          return x,y+1
       if dir==2:
          return x-1,y
       if dir==3:
         return x,y-1
    
    def getCoords8(pos, dir):
       x=pos[0]
       y=pos[1]
       if dir==0:
          return x+1,y
       if dir==1:
          return x+1,y+1
       if dir==2:
          return x,y+1
       if dir==3:
          return x-1,y+1
       if dir==4:
          return x-1,y
       if dir==5:
          return x-1,y-1
       if dir==6:
          return x,y-1
       if dir==7:
          return x+1,y-1
    
    dir=0
    x,y=(0,0)
    p=1
    
    ymax=0
    xlist=[]
    ylist=[]
    clist=[]
    plist=[]
    for i in range(0,N):
        if D==4: 
            x,y=getCoords4((x,y),dir)
        else:
            x,y=getCoords8((x,y),dir)
        if i >= sequence[-1]:
           print("warning: out of range, i="+str(i))
           break
        if isInSequence(i):
           p=i
           plist.append((p,x,y))
           dir=(dir+1)%D
        #print(i, dir)
        if np.abs(y)>ymax:
           ymax=np.abs(y)
        clist.append(p)
        xlist.append(x)
        ylist.append(y)
        
    return xlist, ylist, clist,plist,ymax


#
showAnnotate=False    
showFirstAndLastPrime=True
drawLine=False
n=10000
seqType=0
seq=None # default is prime number sequence.

#different sequences to test
if seqType==1:
    #fibonacci sequence
    seq=np.array(list(fib(1000)))
elif seqType==2:
    #square sequence
    seq=np.arange(1000)**2
elif seqType==3:
    #cumulative random sequence
    seq=np.random.randint(10, size=10000)
    seq=np.cumsum(seq)

    
xlist, ylist, clist,plist, ymax = sequenceSnake(N=n, D=4, sequence=seq)

if drawLine:
    plt.plot(xlist,ylist, 'k-')

plt.scatter(xlist, ylist,  marker='.', c=clist, cmap=plt.cm.prism)
#

if showAnnotate:
   for i,item in enumerate(plist):
       if i%100== 0:
           annot(plist,i, ymax)
        
        
if showFirstAndLastPrime: 
    annot(plist,0, ymax)
    annot(plist,-1, ymax)
      

plt.show()
          

E uma imagem de cerca de 1 milhão de passos ...

Editar: Para se divertir, também uma imagem com direções: E, NE, N, NW, W, SW, S, SE em vez de apenas E, N, W, S