Pedido - Estatísticas [duplicado]

Question

As variáveis ​​aleatórias $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ são iid $\mathcal{U}(0, a)$. Determine a distribuição de$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Devo encontrar a distribuição conjunta de $\max$ e $\min$ e então encontrar a distribuição de $Z_n$, já que temos duas variáveis ​​aleatórias diferentes, não sei como fazer isso!

Answer 1

Primeiro observe que o vetor aleatório $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ é suportado em $(0,a)^2$. Suponha$f$é sua densidade conjunta. Desde a$X_{(n)}$ e $Y_{(n)}$ são independentes, nós temos $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ para qualquer $(x,y)\in (0,a)^2$. Observe também como$Z_n$ é suportado em $[0,\infty)$, o que significa para qualquer $z\geq 0$ temos $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Com um pouco de álgebra, temos $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Esta probabilidade pode ser escrita como o integral duplo $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ que mostra $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.