Pode uma soma de $n$ quadrados sejam expressos como a soma de $n/2$ quadrados?
A resposta para o caso especial em que os quadrados são o triplo pitagórico é sim. Os triplos pitagóricos são o caso dos mais baixos$n$, a saber $2$. Dois triplos pitagóricos podem ser combinados para formar uma soma de$4$ quadrados como em $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Combinando (adicionando) triplos pitagóricos, podemos fazer uma soma de quadrados com$n$.
Pergunta: O que acontece no caso geral quando os pares de quadrados envolvidos não são triplos pitagóricos ou quando nem todos os pares são pitagóricos?
Respostas
A resposta é sim para (mesmo)$n \geq 8$e não para (par)$n \leq 7$.
E se $n \geq 8$ então a soma do seu $n$quadrados é a soma de quatro quadrados pelo teorema dos quatro quadrados de Lagrange. Agora se$n/2$ for maior que 4, você pode completar sua soma adicionando termos suficientes iguais a $0^2$.
Para $4 \leq n \leq 7$ Observe que $7$ pode ser escrito como a soma de $n$ quadrados, mas não podem ser escritos como a soma de $n/2$ praças.
Para $2 \leq n \leq 3$ Observe que $5$ é a soma de $n$ quadrados, mas não a soma de $n/2$ praças.
Do teorema dos quatro quadrados de Lagrange, temos que todo número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados perfeitos. Porque sempre podemos adicionar$0^2$ sem alterar a soma, isso significa que cada número natural pode ser escrito como a soma de $n$ quadrados para qualquer $n\geq4$.
Seu problema pergunta se dado isso $M$ é a soma de $n$ quadrados, pode ser escrito como a soma de $\frac{n}{2}$praças. Como isso requer que$n$ seja uniforme, temos quatro casos:
Caso 1: $n=2$
Neste caso, dado que $M$ é a soma de dois quadrados, é apenas a soma de um quadrado se tivermos um triplo pitagórico.
Caso 2: $n=4$
Nesse caso, $M$pode ser qualquer número natural. A questão pergunta se um número natural genérico pode ser escrito como a soma de 2 quadrados. A resposta a esta pergunta vem do Teorema da Soma dos Dois Quadrados, creditado a Euler, e diz que um número pode ser escrito como a soma de dois quadrados se e somente se sua fatoração de primos não contiver um primo que seja congruente$-1\mod4$ elevado a uma potência ímpar.
Caso 3: $n=6$
Nesse caso, M pode ser qualquer número natural. A questão pergunta se um número natural genérico pode ser escrito como a soma de 3 quadrados. A partir do Teorema dos Três Quadrados de Legendre, a resposta é que a maioria, mas nem todos os números naturais podem ser escritos como a soma de três quadrados. Especificamente, todos os números naturais, exceto aqueles que aparecem emhttps://oeis.org/A004215 pode ser escrito como a soma de três quadrados
Caso 4: $n\geq8$
Neste caso, cada número natural pode ser escrito como a soma de $\frac{n}{2}$ quadrados e, portanto, a resposta é trivialmente sim.
Para os casos 3 e 4, temos margem de manobra suficiente para escolher $n$ quadrados que podemos escolher uma separação que não inclua quaisquer triplos pitagóricos
Não tenho certeza se entendi a pergunta corretamente, porque se é isso que você realmente quer dizer, então não é muito difícil encontrar exemplos contrários.
Minha interpretação: dada uma coleção de $n$ inteiros positivos, $\{ a_1, ..., a_n \}$, é possível encontrar uma coleção de $n/2$ inteiros positivos, digamos, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ de tal modo que $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Se é isso que você realmente quer dizer, primeiro considere $n$para ser um número inteiro ímpar e pronto. Porque$n/2$ não é um inteiro, a afirmação é obviamente falsa.
Agora suponha $n$só pode ser igual. Considere, diga$n = 2$ e $a_i = 1$ para ambos $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, não é um quadrado perfeito e, portanto, é um contra-exemplo à afirmação.
Quaisquer dois triplos pitagóricos podem ser representados como a soma de quatro quadrados ou a soma de dois quadrados.
Exemplos: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
ou, a partir do exemplo que mostrei na minha primeira versão desta resposta: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
Onde $8$ somas de quadrados são expressas como $4$. Eu dei o exemplo de$4$ valores iguais, mas qualquer número par de quaisquer combinações de $C$-valores podem ser reduzidos à metade desse número.
Outro exemplo é aqui onde $10$ somas quadradas são iguais a $5$ somas $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Para sua última pergunta, se os quadrados não são necessários, também existem soluções infinitas: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ ou $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$