Por que as relações de congruência geralmente correspondem a algum tipo de subobjeto?
Do ponto de vista da álgebra universal, estruturas quocientes de estruturas algébricas são construídas usando https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. E se$A$ é uma estrutura algébrica (um conjunto com um monte de operações no conjunto) e $R$ relação de congruência em um conjunto, então o quociente $A/R$ está bem definido e será uma estrutura algébrica do mesmo tipo.
Agora, como se constata, em categorias algébricas particulares, essas relações de congruência em $A$ correspondem exatamente a algum tipo de subobjeto de $A$. Por exemplo, as relações de congruência em um anel correspondem precisamente aos ideais daquele anel; as relações de congruência em um grupo correspondem precisamente aos subgrupos normais desse grupo; as relações de congruência em um módulo correspondem precisamente aos submódulos desse módulo.
Por que as relações de congruência geralmente correspondem a algum tipo de subobjeto? É este um fenômeno geral que pode ser generalizado para todas as estruturas algébricas (como estudado nesta generalidade pela álgebra universal)?
Respostas
Lembre-se de que congruências em $A$ pode ser visto como certas subálgebras de seu quadrado $A^2,\,$ por exemplo https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
Em álgebras como grupos e anéis, onde podemos normalizar $\,a = b\,$ para $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$as congruências são determinadas por uma única classe de congruência (por exemplo, um ideal em um anel). Isso tem o efeito de colapsar a referida relação entre congruências com subálgebras de $A^2$ até $A.\,$ Essas álgebras são chamadas de variedades determinadas ideais e têm sido muito estudadas.
Uma resposta à sua pergunta é que as variedades idealmente determinadas são caracterizadas por duas propriedades de suas congruências, a saber, ser $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ e $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. Abaixo está um trecho de um artigo sobre tópicos relacionados que produz um bom ponto de entrada na literatura sobre este e outros tópicos relacionados.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano e Aldo Ursini
- Prefácio
Foram feitas as seguintes perguntas:
- (a) Para que servem os ideais da álgebra universal?
- (b) Para que servem as variedades subtrativas?
- (c) Há uma razão para estudar a definibilidade dos ideais principais?
Estar no meio de um projeto em variedades subtrativas, este parece o lugar certo para abordá-los.
Para (a). A noção de ideal em álgebra geral [13], [17], [22] visa recapturar algumas propriedades essenciais das classes de congruência de$0$, para alguma constante dada $0$. Abrange: subgrupos normais, ideais em anéis ou grupos de operadores, filtros em álgebras booleanas ou de Heyting, ideais em álgebra de Banach, em grupos l e em muitos outros ambientes clássicos. Em certo sentido, é um luxo, se alguém estiver satisfeito com a noção de "classe de congruência de$0$". Assim, em parte, esta questão pode se tornar: Por que ideais em anéis? Por que subgrupos normais em grupos? Por que filtros em álgebras booleanas? E muitos mais. Não temos vontade de tentar qualquer resposta a essas questões. Em outro sentido, pergunte ( a) sugere perguntas semelhantes: Para que servem as subálgebras na álgebra universal? e muito mais. Possivelmente, todo o empreendimento denominado "álgebra universal" existe para responder a essas questões?
Dito isso, é claro que o cenário mais adequado para uma teoria de ideais é o de classes determinadas ideais (ou seja, ao mapear uma congruência E para seus $0$-classe $\,0/E$estabelece um isomorfismo de rede entre a rede de congruência e a rede ideal). O primeiro artigo nesta direção [22] traz isso em seu título.
Acontece que - para uma variedade V - sendo idealmente determinado é a conjunção de duas características independentes:
V tem $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ congruências, nomeadamente para quaisquer congruências $\rm\,E,E'$ de qualquer membro de $V,$ de $\,\rm 0/E = 0/E'$ segue-se $\rm\,E = E'$.
V tem $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ congruências, nomeadamente para quaisquer congruências $\,\rm E,E'$ de qualquer membro de $V,$ E se $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ então para alguns $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
Isso não é verdade "geralmente"; por exemplo, não é verdade para monoides ou semirings. É um fato muito especial que seja verdadeiro para grupos e anéis, e em ambos os casos pelo mesmo motivo: a presença de inversos permite substituir o pensamento sobre uma relação de equivalência$a \equiv b$ com pensar sobre $b^{-1} a \equiv 1$ para grupos (produzindo subgrupos normais) e $a - b \equiv 0$ para anéis (produzindo ideais).
Observe também que, estritamente falando, ideais não são subobjetos na categoria de anéis (com identidade).
Isso geralmente é falso . O facto de se manter em grupos e em anéis deve-se ao facto de em cada caso termos uma operação com identidade e inversas, nomeadamente a operação de grupo ou a adição de anéis respectivamente.
Enquanto tivermos tal operação, toda congruência é de fato determinada por uma única classe. Para ver isso, suponha$S$ é uma estrutura com operação invertível $*$, $a\in S$, e $\sim,\approx$ são congruências em $S$ com $[a]_\sim=[a]_\approx$. Consertar$b\in S$; nós queremos mostrar$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (de onde por simetria e generalização universal vamos obter $\sim=\approx$)
Suponha $b\sim c$. Então$b b'a\sim cb'a$, Onde $x'$ denota o $*$-inverso de $x$. Isso significa$a\sim cb'a$, e assim desde $[a]_\sim=[a]_\approx$ Nós temos $a\approx cb'a$. Agora desfazemos a etapa anterior: multiplicamos à direita por$a'b$ para obter $b\approx c$ como desejado.