Por que o conjunto Cantor é incontável [duplicado]
Estou tendo problemas para ver por que o conjunto Cantor tem incontáveis elementos.
Um conjunto de cantor $C$está fechado. assim$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$está aberto e é a união contável de intervalos abertos disjuntos. Posso ainda assumir que posso pedir o$\{I_n\}$por seus pontos finais esquerdos, uma vez que existem apenas contáveis deles. Então entre$I_n=(a_n,b_n)$ e $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, nós devemos ter $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. E se$b_n < a_{n+1}$, então o conjunto Cantor $C$ consiste em um intervalo, o que é uma contradição, então $b_n = a_{n+1}$ para todos $n$, e assim o conjunto de Cantor pode ter no máximo contáveis muitos pontos.
Respostas
O erro em seu raciocínio é supor que um conjunto de números contáveis pode ser ordenado. Por exemplo, considere o conjunto de números racionais, contáveis, mas não podem ser ordenados ('ordenar' aqui significa enumerar em uma sequência tal que$\alpha_1<\alpha_2<\dots$)
Uma maneira simples de ver que o conjunto de cantores é incontável é observar que todos os números entre $0$ e $1$ com expansão ternária consistindo apenas em $0$ e $2$fazem parte do conjunto cantor. Visto que existem inúmeras sequências desse tipo, então o conjunto de cantores é incontável.
Posso ainda assumir que posso pedir o $\{I_n\}$ por seus pontos finais esquerdos, uma vez que existem apenas contáveis deles.
Não. Por que você acha que pode? Considere, por exemplo, os números contáveis$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ Contanto que haja mais de um ponto de acumulação, você não pode esperar ordená-los indexados por inteiros.
Posso ainda assumir que posso pedir o $\{I_n\}$ por seus pontos finais esquerdos, uma vez que existem apenas contáveis deles.
Por essa lógica, também deve ser possível enumerar os números racionais em ordem. Mas isso é um absurdo.
Não estou seguindo seu argumento bem o suficiente para ver exatamente onde dá errado ... Uma pergunta que você pode se fazer é "isso mostra que todo conjunto fechado é contável?" O que há de especial no cantor definido aqui? Eu não estou vendo isso.
Quanto ao motivo pelo qual o conjunto de cantores é incontável, considere o seguinte:
Em cada nível finito da construção do conjunto cantor, "jogamos fora" o terço do meio de cada peça. Portanto, temos uma decisão a tomar em cada estágio: vamos para a esquerda ? ou vamos certo ?
Por exemplo, começamos em $[0,1]$. Então, temos que decidir entrar em$[0,\frac{1}{3}]$ ou em $[\frac{2}{3},1]$. Digamos que vamos para a esquerda. Agora temos a opção de entrar$[0,\frac{1}{9}]$ ou $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
Você pode ver que cada seqüência contável de escolhas (esquerda ou direita) dá um ponto único do conjunto do cantor. Além disso, cada ponto do conjunto do cantor corresponde a essa sequência de escolhas. Então, se escrevermos$0$ para "esquerda" e $1$ para "certo, os pontos do conjunto cantor estão em bijeção com as cordas infinitas de $0$areia $1$s.
Como diversão à parte, a estrutura topológica também concorda! É por isso que você costuma ver as pessoas chamando o cantor set$2^\omega$. Na linguagem da teoria dos conjuntos, que basicamente se traduz em "sequências infinitas de$0$areia $1$s ".
Ok, mas agora deve haver inúmeras sequências infinitas de $0$areia $1$s por um argumento de diagonalização . Portanto, o conjunto de cantores também é incontável.
Espero que isso ajude ^ _ ^