Por que os campos vetoriais são definidos como seções da união disjunta dos espaços tangentes? Não é muito complicado?
É comum definir o feixe tangente $TM$como a união disjunta de todo o espaço tangente e, em seguida, definir os campos vetoriais como seções de\begin{align} TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM=\bigcup_{p\in M}T_pM\times\{p\}&\to M\\ (v,p)&\mapsto p \end{align} (Estou lendo o livro de John Lee, onde vetores tangentes são introduzidos como derivações, de modo que $T_pM\cap T_qM\neq\emptyset$.)
Por que simplesmente não definimos $TM=\bigcup_{p\in M}T_pM$ e dizer que um campo vetorial é um mapa $\omega\colon M\to TM$ com $\omega_p\in T_pM$ para todos $p\in M$.
Não é esta a propriedade essencial de um campo vetorial : que é atribuído a todos$p\in M$ um elemento de $T_pM$?
Uma questão análoga surge para as formas diferenciais.
Uma tentativa de esclarecer a questão: tenho que preparar uma palestra sobre as equações de Maxwell em termos de formas diferenciais e tenho um público que não sabe o que é uma variedade, nem o que é um tensorista. Tenho 30 minutos para um curso intensivo sobre essas coisas. Isso significa que tenho que omitir o máximo de informações possível, mas quero que tudo o que digo esteja correto. Portanto, uma pergunta que me perguntei é: Será que perderei algo se não explicar o que são uniões e seções desarticuladas e simplesmente der a eles minha definição acima? Existe uma boa razão para definir o feixe tangente como a união disjunta de espaços tangentes em vez da união ordinária (além de querer introduzir a noção de seções)? Mas são perguntas que já me fiz antes de dar esta palestra.
Respostas
Existem duas questões principais aqui.
Em primeiro lugar, a única maneira de a união não ser disjunta e fazer algum sentido é assumir que os espaços tangentes vivem em um conjunto universal comum, o que geralmente não é o caso.
Em segundo lugar, mesmo se você incorporar os espaços tangentes em um universo comum, por exemplo, incorporando a variedade dentro de algum espaço euclidiano, então você perde informações cruciais ao fazer uma união regular, uma vez que a linha entre os vetores tangentes e os pontos torna-se borrada e os pontos vivem em pontos distintos espaços tangentes podem ser identificados. Por exemplo, considere o feixe tangente do círculo embutido em$\Bbb{R}^2$, como na seguinte imagem:
Ao fazer um sindicato regular, você obtém o subconjunto de $\Bbb{R}^2$consistindo em todos os pontos em vermelho como seu feixe tangente. Mas então todos os pontos que estão em várias linhas "esquecem" a qual espaço tangente eles pertencem. Por exemplo, o ponto$(1,1)$ encontra-se no espaço tangente em $(1,0)$ bem como o espaço tangente em $(0,1)$. Portanto, você perde a sobreposição canônica$\bigcup_p T_pM \to M$que é usado, entre muitas outras coisas, para dotar o feixe tangente de uma estrutura múltipla. Desastre!
Finalmente, para abordar a parte onde você menciona campos vetoriais: é importante notar que tais objetos não são meras seções teóricas de conjuntos do mapa $\bigcup_p T_pM \to M$; são seções contínuas ou lisas . E para que isso faça sentido, precisamos de uma topologia / estrutura suave no pacote tangente.
Suponha $M \subset \mathbb{R}^n$é uma subvariedade. Então pode-se definir seu feixe tangente como a união de todos os espaços vetoriais tangentes$T_pM$ para $M$ em pontos $p$. O problema é o que deve ser entendido como "união" aqui.
Suponha que você o defina como a união como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$. Por exemplo, se$M = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$, então, em cada ponto, o espaço tangente é $\mathbb{R}$, então todos os subconjuntos tangentes são iguais ao mesmo subespaço de $\mathbb{R}$, a saber $\mathbb{R}$, e assim é sua união.
Agora suponha $M = \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$. Então, qualquer linha vetorial$D$pode ser visto como o espaço tangente de um ponto do círculo. Então aqui, a união usual como subconjuntos de$\mathbb{R}^2$ será a união de todas as linhas vetoriais de $\mathbb{R}^2$, qual é $\mathbb{R}^2$.
Essas construções são "extrínsecas", pois não dependem apenas de $M$ mas também no espaço ambiente $\mathbb{R}^n$. Por exemplo, se alguém diz$M \subset \mathbb{R}^n \simeq \mathbb{R}^n\times\{0\} \subset \mathbb{R}^m$, então pode-se definir um "diferente $TM$", dependendo do ponto de vista (mesmo que sejam isomórficos).
Mas, nesses dois exemplos, se você pegar um elemento aleatório da união, não sabe em que ponto ele é tangente. Você perde muito sentido geométrico.
A ideia para evitar isso é fazer uma união disjunta, a saber $$TM = \bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.$$Um elemento desta união é da forma$(p,v)$ com $v \in T_pM$, portanto, cada elemento tem em sua construção mais dados do que no exemplo anterior.
Para o primeiro exemplo, esta construção dá $T\mathbb{R} = \bigcup_{p\in\mathbb{R}} \mathbb{R} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$, e qualquer vetor tangente tem a forma $(x,t)$ Onde $t$ é tangente a $x$.
Para o círculo, dá $T\mathbb{S}^1 = \bigcup_{\theta \in \mathbb{S}^1} \{\theta\} \times T_{\theta}\mathbb{S}^1$, Etc.
Para uma variedade abstrata, não há "espaço ambiente", então a união usual dos espaços tangentes não pode ser definida como uma união de subespaços de um mesmo conjunto fixo. Portanto, teria sido uma construção ruim, pois não teríamos sido capazes de estendê-la. Mas a disjunção-união nos permite definir, para uma variedade geral$M$ que não está embutido em um espaço euclidiano, $$T_pM = \bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM,$$ Onde $T_pM$ é uma noção intrínseca em $M$, dependendo apenas da estrutura diferencial.
Além disso, esta construção mostra que existe uma estrutura natural de feixe de fibras no espaço tangente $TM$ (este é um conceito mais geral), e esta construção fornece automaticamente uma função suave $\pi : TM \mapsto M$ isso é apenas a projeção $(p,v) \mapsto p$.
Se alguém quiser definir um campo vetorial pela ideia de que "em cada ponto $p$ tem um vetor tangente para $p$", então pode ser rigorosamente definido usando esta construção como um mapa contínuo $X : M \to TM$ de tal modo que $X(p) = (p,v_p)$. Isso é equivalente a dizer que$X$ é uma seção (contínua) de $\pi$, isso é $\pi\circ X = \mathrm{id}_M$. Normalmente exigimos que o campo vetorial seja suave, o que significa$X$ é lisa (uma seção lisa).
Edit: É um problema comum para geômetras, quando precisam dar uma palestra para não especialistas, para fazer uma apresentação clara enquanto o público não tem ideia dos principais objetos que usamos, como variedades, feixes de vetores, etc. Meu a experiência é esta: não perca tempo dando definições excessivamente complicadas se o que realmente importa é o sentido geométrico. Basta dizer que uma variedade é uma noção geométrica que pode estender a definição de superfícies, etc. Defina vetores tangentes visualmente. Digamos que um campo tangente seja um campo de vetores tangentes sem falar em pacotes. O mesmo vale para os covetores. Se você tiver que falar sobre operadores em bundles, fale apenas sobre como eles atuam nos vetores. Você ganhará muito tempo e o público provavelmente compreenderá muito mais coisas do que se você tivesse feito algumas declarações rigorosas demais.
Existem muitas respostas boas aqui, todas as quais elucidam certas partes da situação. Mas há um ponto importante que não foi mencionado - na definição de espaços tangentes que uso em meu livro Smooth Manifolds, a derivação zero é um elemento de$T_pM$ para cada $p\in M$, então, se você não usar a união disjunta na definição do feixe tangente, todos os espaços tangentes se cruzarão. Veja também esta resposta .
Isso é apenas reescrever o que foi escrito algumas vezes, mas quando $M\subset \Bbb R^N$, então $$TM = \{(x,v): x\in M, v\in T_xM\}\subset M\times\Bbb R^N.$$Aí está o seu universo. Para uma variedade abstrata, é claro, isso não faz sentido, porque não há nada sensato para substituir$\Bbb R^N$.
Aqui está uma explicação que se encaixará no tempo alocado para seu curso intensivo:
Os físicos dirão algum dia que dois vetores são iguais se eles apontarem na mesma direção e tiverem o mesmo ponto base.
Como a abstração que os matemáticos adotaram para os vetores não inclui o ponto base, "$\times \{p\}$"é como eles rotulam cada vetor com seu ponto base. A propósito, provavelmente é assim que os programadores de computador fariam isso também.