Por que todo movimento em um corpo rígido cessa de uma vez?
Eu estava lendo um livro que apresentava o problema:
Um jogador de hóquei insatisfeito joga um taco de hóquei no gelo. Ele gira em torno de seu centro de massa à medida que desliza e, por fim, é colocado em repouso pela ação do atrito. Seu movimento de rotação para no mesmo momento em que seu centro de massa pára, nem antes, nem depois. Explique por quê.
Eu vi uma pergunta semelhante em: Por que um taco de hóquei no gelo, quando jogado no gelo, sempre gira e se translada junto antes de parar? Por que não apenas girar ou apenas traduzir? mas não me senti satisfeito com a resposta.
A questão estava no capítulo de energia, então tentei resolvê-la com energia. Eu pensei que se a força de atrito no COM fosse F e viajasse s antes de parar, então podemos escrever a equação$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$onde o LHS representa a energia cinética inicial. Também poderíamos escrever uma equação semelhante para energia rotacional, mas não tenho certeza do que fazer depois disso. É mesmo razoável tentar prová-lo com rigor ou apenas pelo raciocínio?
Outra questão que surgiu ao pensar sobre esta questão era como você mediria o torque gerado pelo atrito, já que ele está distribuído pelo stick, não apenas em um ponto?
Respostas
Se o braço for uma barra, tendo contato plano com o solo ao longo de seu comprimento, a força de atrito oposta à rotação sugere modelá-la como 2 vigas cantilever com carga uniformemente distribuída, fixadas no COM. A carga de atrito é distribuída ao longo de seu comprimento, resultando em máx. torque próximo a COM e zero nas pontas.
Portanto, para uma pequena área próxima às extremidades, o torque total resulta apenas da carga nesta área: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ e a força de atrito no elemento é $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
O momento de inércia $\delta I = \delta m r^2$ e $$\omega = \frac{v}{r}$$
Assim, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Se aumentarmos a força para diminuir a velocidade média de translação na mesma região: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
Sob a mesma aceleração, eles devem diminuir juntos. Se isso acontecer para as pontas da barra, todo o corpo vai parar de girar e se mover linearmente ao mesmo tempo para este modelo.
Mas se, por exemplo, a porção central tem contato, mas não as pontas, é perfeitamente possível que a barra continue girando, após parar seu movimento de translação.
Não acho que a afirmação esteja correta. Em geral, um objeto deslizante pode parar de girar ou transladar antes que o outro movimento pare. Pode haver apenas um.
Por exemplo, pegue um disco uniforme. Gire e coloque-o sobre o gelo. Ele vai girar no lugar por um tempo e parar. Da mesma forma, deslize-o sem girar. Ele deslizará até parar.
Como mostra a postagem que você vinculou, um taco de hóquei é especial. Possui diferentes coeficientes de atrito em diferentes extremidades. Isso pode fazer com que ele gire se você começar a deslizar. Mas não precisa. Deslize-o com a extremidade de alta fricção nas costas, como se estivesse atirando um arco e flecha. Ele deslizará até parar sem girar.
Se você girar um pouco e aumentar a velocidade, o atrito pode orientá-lo antes que pare.
Depois de ler as outras respostas (+1 para ambas), concluo que minha intuição estava errada. A rotação e a tradução param ao mesmo tempo.
Aqui está um artigo que analisa o acoplamento do movimento deslizante e giratório com discos finos, e por que ambos os movimentos param ao mesmo tempo. O artigo estabelece um modelo matemático e relata resultados de experimentos com um CD sobre uma superfície de náilon que testam a teoria.
Editar em resposta a comentários: O modelo matemático assume um disco plano com distribuição de massa uniforme e ignora explicitamente os efeitos de sua altura finita (uma força normal não uniforme que leva a trajetórias curvas). Os experimentos usam um CD como aproximação. Um pião pode se comportar de maneira diferente, embora eu possa observar que a ponta de um pião "vagueia" ao longo da superfície como resultado de forças (como precessão, uma baforada de ar ou um desnível na superfície) que de longe não seriam suficientes para se mover se não estivesse girando.
A razão subjacente para essa interação entre girar e deslizar é que o atrito dinâmico é independente da velocidade do movimento; depende apenas da força normal (aqui a força gravitacional) e constantes materiais. Sua direção em cada ponto da superfície se opõe à direção da velocidade desse ponto. Com um objeto deslizante de rotação rápida, todos os vetores de velocidade são quase completamente tangenciais porque a parte rotacional está dominando os vetores. A magnitude dos vetores é muito alta, mas irrelevante: a força de atrito não depende disso. Conseqüentemente, as forças de atrito também são quase inteiramente tangenciais; na maioria das vezes, eles se cancelam em relação ao movimento para frente e diminuem apenas a rotação. 1
Na verdade, o torque de atrito (que retarda a rotação) é maior do que a força de atrito linear (que interrompe o movimento para frente) se a rotação for rápida em comparação com o movimento para frente - e vice-versa. É por isso que o "mais rápido" um dos dois movimentos é travado mais, até que se alinhem e parem juntos. A figura abaixo (p. 2 do artigo) mostra essa interdependência.$\epsilon$ é o quociente do movimento para a frente e do movimento angular, $v/R\omega$. Para pouco movimento linear, mas rotação rápida, o torque de atrito domina (o lado esquerdo da figura (a)), e para movimento linear rápido com pouca rotação, o atrito linear domina (lado direito da figura):
1 Isso é um tanto incomum: frequentemente "dissecamos" velocidades ou forças em seus constituintes e as consideramos individualmente, independentemente. Neste caso, entretanto, o componente lateral influencia o atrito longitudinal porque muda a direção do vetor, e vice-versa: Porque o atrito em uma determinada direção não depende da magnitude do componente do vetor naquela direção. A magnitude desse componente é constante, o atrito não. Muito contra-intuitivo.