Por que um conjunto convexo fechado contém linhas se e somente ele não possui pontos extremos? [duplicado]
Deixar$A\subset\mathbb R^n$ser um fechado e convexo. A pontos$x\in A$é dito ser um ponto extremo se não pode ser representado como uma combinação convexa não trivial de pontos em$A$. Deixar$\operatorname{ext}A$denotar o conjunto de pontos extremos de$A$.
Eu me deparei com a observação de que "$A$contém linhas se e somente se não possui pontos extremos " (página 37, observação 1, em Hug e Weil (2010) , pdf pode ser encontrado aqui ).
Eu posso ver que se$A$contém uma linha$L$, então não pode ter pontos extremos. Com efeito, dado qualquer$x\notin L$, então o fechamento convexo (fechado) de$\{x\}\cup L$deve ser igual a tudo entre$L$e a reta paralela a$L$cruzando$x$, e tal conjunto não possui pontos extremos. Geometricamente, isso equivale à seguinte construção:
$\qquad\qquad\qquad$
No entanto, não tenho certeza de como proceder para a outra direção. Como posso provar que se$A$não contém linhas, então deve haver pelo menos um ponto extremo (ou equivalentemente, que a ausência de pontos extremos implica que pelo menos uma linha está contida em$A$)?
Respostas
$A$deve ser assumido como não vazio, é claro. Então podemos usar indução na dimensão.
Dentro$\mathbb{R}^1$, um conjunto convexo fechado não vazio$A$que não contém nenhuma linha tem uma das formas$(-\infty, a]$,$[a, +\infty)$, ou$[a,b]$(com$a \leqslant b$), e por tudo isso$a$é um ponto extremo de$A$.
Para a etapa de indução, vamos$x \in A$e considere uma linha arbitrária$L$passando através$x$. Desde$L \not\subset A$há um ponto$y \in L\setminus A$. Deixar$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$e$z = x + s(y-x)$. Então existe um hiperplano de suporte para$A$passando através$z$. Isso é dado por$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$para alguns$\eta \in \mathbb{R}^n$com$\langle \eta, \eta\rangle = 1$. Podemos, sem perda de generalidade, assumir que$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$para todos$\xi \in A$.
Agora$A_H = A \cap H$é um conjunto convexo fechado no hiperplano$H$(com o qual podemos nos identificar$\mathbb{R}^{n-1}$) que não contém linha e não está vazio (para$z \in A_H$). Pela hipótese de indução,$A_H$tem pontos extremos. Mas um ponto extremo de$A_H$também é um ponto extremo de$A$, pois se um ponto$p$do$A_H$é representado como uma combinação convexa de dois pontos de$A$, então esses dois pontos devem estar em$A_H$. Desta forma$A$tem pontos extremos.
Aqui está uma ligeira reformulação da outra resposta .
Eu quero provar que um fechado, convexo, não vazio$A\subset\mathbb R^n$que não contém linhas, sempre contém pelo menos um ponto extremo.
o$\mathbb R^1$caso é trivial: o único possível$A$são intervalos finitos fechados ou segmentos infinitos da forma$[a,\infty)$e$(-\infty,a]$. Suponhamos, portanto, que a afirmação é verdadeira para$A\subset\mathbb R^{n-1}$.
Deixar$x\in A$seja um ponto arbitrário e seja$L$ser alguma linha passando por$x$. Desta forma$x\in L$, e por hipótese$L\not\subset A$. Haverá então alguns$y\in L\setminus A$. Deixe então$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ser um elemento na fronteira de$A$, deixar$H$ser o hiperplano de suporte para$A$passando através$z$, e considere o conjunto$A_H\equiv A\cap H$. Aqui está uma representação desta construção em$\mathbb R^2$:
Neste caso simples,$H$deve ser uma linha e assim$A_H\subset\mathbb R^1$contém um ponto extremo conforme a hipótese de indução (neste caso particular$A_H=\{z\}$). De forma geral,$A_H$será um subconjunto fechado, convexo e não vazio de$\mathbb R^{n-1}$, e, portanto, contêm pontos extremos.
Agora só resta provar que um ponto extremo de$A_H$também é um ponto extremo para$A$. Em outras palavras, devemos provar que se$p\in A_H$então$p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. A propósito, lembramos que$A_H$é definida como a intersecção entre$A$e um hiperplano, o que significa que há algum$\eta\in\mathbb R^n$e$\alpha\in\mathbb R$tal que, definindo$f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, temos$f(\xi)\le \alpha$para todos$\xi\in A$, e$f(\xi)=\alpha$para todos$\xi\in A_H$.
Mas então, se$p\in A_H$eram uma combinação convexa de elementos de$A$,$p=\sum_k \lambda_k a_k$com$a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, então$$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$o que só é possível se$f(a_k)=\alpha$para todos$k$, ou seja , se$a_k\in A_H$.