Por que você pode deformar o contorno na expressão integral do propagador de Klein-Gordon para obter o propagador euclidiano?
Estou tentando entender o uso das funções de correlação euclidiana em QFT. Persegui os problemas que estava tendo para como eles se manifestavam no exemplo mais simples que eu poderia pensar: o propagador de dois pontos para a equação de Klein-Gordon. VP Nair (pdf páginas 57-58) começa com o propagador de Feynman para a equação de Klein Gordon,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Ele então argumenta que você pode deformar o contorno de forma que o $k_0$ integral sobe no eixo imaginário, para obter
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
nesse ponto, você estará a uma mudança de variáveis de obter a relação que queremos entre os propagadores Minkowski e euclidianos. Nair diz que "não há cruzamento de pólos do integrando nesta deformação", e eu posso ver isso: você está deformando o contorno pelos quadrantes superior direito e inferior esquerdo do plano complexo, então evite os pólos. Meu problema é o que dizer dos contornos semicirculares no infinito ? Você tem que deixar os pontos finais fixos ao deformar o contorno, para obter o$k_0$integral para ir ao longo da linha imaginária, devemos ter um contorno que une as extremidades do imaginário à linha real que se desvanece. Mas certamente este não pode ser o caso nos contornos superior direito e inferior esquerdo, pois o integrando tem um fator$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, que dependendo do sinal de $x_0$irá divergir em qualquer grande imaginário positivo$k_0$ ou grande imaginário negativo $k_0$?
Existe uma maneira ligeiramente diferente de lidar com o mesmo problema. Nair chega à relação
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
onde o propagador euclidiano é definido
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
O problema aqui é que se você colocar valores imaginários de $x_4-y_4$ na integral definidora, então você obtém uma divergência exponencial na $k_4$ integral, então o resultado é mal definido.
Então, o que está acontecendo aqui? Estou perdendo algo óbvio ou Nair está fazendo um aceno de mão flagrante? E, se for o último, você poderia me indicar a direção de um tratamento da relação entre as funções de correlação euclidiana e de Minkowski que não seja tão matematicamente técnico quanto o artigo de Osterwalder e Schrader ? (Que é tudo o que consegui encontrar referenciado em outro lugar!) Quando tentei encontrar a relação em casos mais complicados e gerais - por exemplo, olhando para a função de partição expressa como uma integral de caminho - acho que tropecei sobre mais ou menos o mesmo problema, dessa divergência do fator exponencial, então eu realmente sinto que se eu ordenar essa derivação do propagador KG, então o resto deve se encaixar.
Respostas
Isso talvez seja um pouco confuso na forma como Nair escreveu, mas é essencial que você faça as duas substituições$k_0=ik_4$ e $x^0=ix^4$simultaneamente. Isso mantém as propriedades de convergência da integral original intacta.
Observe que há um sinal adicional na convenção de Nair porque ele está mudando de quantidades semelhantes ao tempo para quantidades semelhantes ao espaço, que então obtêm um sinal diferente na multiplicação vetorial $k\cdot x$. Em vez disso, você poderia ter feito$k_0\to ik_0$ e $x^0\to -ix^0$, deixando-os como quantidades semelhantes ao tempo. Se você fizer dessa forma, fica claro que você está apenas atribuindo$k_0$ e $x^0$fases iguais, mas opostas. Em vez de um completo$\pi/2$, você poderia ter usado qualquer fase $k_0\to e^{i\theta}k_0$ e $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ e é claro que o produto $k_0 x^0$ está inalterado.
Não sei se Nair cobre isso, mas essa adição de uma parte imaginária à coordenada de tempo tem significado físico na teoria da perturbação. Ele introduz a evolução não unitária porque o operador de evolução$e^{-i\hat H x^0}$ não é mais unitário se $x^0$tem uma parte imaginária. Esta evolução não unitária permite projetar automaticamente o vácuo interagente do vácuo livre, permitindo assim construir aproximações perturbativas para quantidades na teoria de interação usando os ingredientes da teoria livre. Não vou tentar escrever os detalhes nesta resposta, mas essas coisas são abordadas em Peskin & Schroder, Capítulo 4, especificamente nas páginas 86-87 e 95.
A resposta do usuário kaylimekay é exatamente correta que o produto interno $k_{\mu} x^{\mu}$deve, em princípio, permanecer invariante sob uma rotação Wick , cf. por exemplo, minhas respostas Phys.SE aqui , aqui e aqui .
Infelizmente, a regra de transformação $x^0=ix^4$ na Ref.1 é o oposto da transformação Wick padrão $x^4=ix^0$, cf. por exemplo, esta postagem Phys.SE.
Isso complica as coisas que Ref. 1 usa o$(+,-,-,-)$Convenção de assinatura de Minkowski, cf. minha resposta Phys.SE aqui .
Referências:
- VP Nair QFT: A Modern Perspective , 2004; capítulo 4, p. 43-46, eqs. (4,13-19).
A maneira que $G(x,y)$ está preparado para ser usado para números complexos $x_0,y_0$ é usar a transformada de Laplace inversa (em vez da transformada de Fourier inversa) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ onde a parte expoente contém $-k_0(x_0-y_0)$como visto na transformação de Laplace. Dessa forma, não deve haver divergência desagradável. Na verdade, a integral sempre pode ser deslocada na transformada de Laplace inversa$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ Provavelmente é como dizer vamos usar o kernel de Klein-Gordon e ver o que podemos encontrar.
Acontece que substituir $k_0\leftarrow -ik_0$ na equação acima produz $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$que é o propagador euclidiano. É, pelo menos o que eu sinto, como a rotação de Wick deveria ter sido feita.