Porque nós temos $\hbar$ na relação de comutação?
Vamos pensar na constante de Planck como a inclinação da relação de dispersão do campo eletromagnético, $E=\hbar \omega$. A constante de Planck não é independente da carga do elétron, ambas podem ser redimensionadas, desde que a constante de estrutura fina permaneça inalterada. Ainda assim, muitas vezes é conveniente usar os dois.
Conforme começamos a aprender QM, muito antes de chegar ao QED, somos ensinados que a constante de Planck aparece como um múltiplo de $i$na relação de quantização canônica. Por quê??
Não me interpretem mal, estou totalmente OK com o fato de que aparece nos estudos do oscilador. Poderia ser simplesmente uma grandeza dimensional em termos da qual outras grandezas com as mesmas unidades são expressas.
Mas, normalmente, nos dizem algo muito diferente. No espírito de "este número$\hbar$ dentro $[q,p]=i\hbar$ é a constante de Planck cujo valor é ..., e define a escala na qual a física começa a ser quântica ".
Imagine um mundo sem QED, apenas com quarks e glúons de forte interação. Qual número eles colocariam na relação de comutação ao ensinar alunos de graduação?
Respostas
Esta pergunta ilustra um dos desafios fundamentais no ensino de física. Precisamos aprender as coisas mais fáceis primeiro, porque somos humanos, mas isso está em conflito direto com o desejo de aprender as coisas em uma sequência que é logicamente clara (os axiomas mais profundos primeiro, e para todo o sempre derivaremos todo o resto deles).
Nós aprendemos $E=\hbar\omega$para fótons primeiro, porque é mais fácil. Então aprendemos QM não relativístico, e então aprendemos QED. Mas a razão para o aparecimento da mesma constante$\hbar$ em ambos $E=\hbar\omega$ (para fótons) e em $[q,p]=i\hbar$ QM não relativístico (que não tem fótons) vem de QED!
Para este caso específico, aqui está uma solução possível: depois que os alunos aprenderem que $E=\hbar\omega$para fótons, saliente que este é um caso especial de uma relação que funciona para partículas de todas as massas, não apenas aquelas sem massa. Em particular, a mesma relação é válida para partículas massivas em QM não relativístico. Agora, depois de introduzir alguns fundamentos sobre QM não relativístico, podemos anunciar que o fator de$\hbar$ realmente vem das relações de comutação, e então podemos mostrar a eles como derivar a relação $E=\hbar\omega$ dessa razão mais profunda (para partículas massivas).
No momento em que os alunos estão prontos para aprender QM não relativística, eles já devem estar familiarizados com o fato genérico de que a sequência mais fácil primeiro é frequentemente diferente da sequência logicamente clara, então eles devem estar abertos para reorganizar seus visão sobre de onde a constante de Planck "vem" quando eles aprendem QM não relativística. E uma vez que os alunos veem como o fator de$\hbar$ dentro $E=\hbar\omega$ surge das relações de comutação em QM não relativístico, eles devem estar abertos à ideia de que algo semelhante pode ser verdadeiro de forma mais geral, então eles devem estar abertos a uma declaração como esta:
Mais tarde, quando você aprender sobre a QED relativística, verá que a relação $E=\hbar\omega$ para fótons obtém seu fator de $\hbar$ da mesma fonte: relações de comutação.
Esta não é uma solução perfeita, porque os alunos podem assumir que "relações de comutação" significa "entre a posição observável e o momento observável", o que não é verdade no QED. Esse problema também tem uma solução fácil, porém, que está estranhamente ausente do currículo padrão: depois de ensinar QM não relativístico e antes de ensinar QED, ensine QFT não relativístico! O QFT não relativístico é uma ótima ponte pedagógica por muitos motivos, e esse é um deles. Usando QFT não relativístico, onde a matemática é fácil, podemos mostrar aos alunos como a relação de comutação posição-momento surge da relação de comutação campo-campo. A partir daí, aprender por que não podemos construir um operador de posição estrita no caso relativístico - e por que ainda podemos obter$E=\hbar\omega$ diretamente da relação de comutação campo-campo - deve ser uma etapa conceitual relativamente fácil.
Isso não depende especificamente de QED, mas é uma consequência da propriedade geral da mecânica quântica de que o momento é o conjugado de Fourier da posição ou, alternativamente, da solução da equação de Schrodinger. Em unidades naturais, a transformada de Fourier contém o termo$e^{ix\cdot p}$. Segue-se que as unidades naturais de momento são 1 / [comprimento], e da mesma forma as unidades naturais de energia são 1 / [tempo]. Assim como a relatividade mostra que as unidades naturais de distância são iguais à unidade de tempo ($c=1$), a mecânica quântica mostra que as unidades naturais de energia são $\mathrm s^-1$. Em outras palavras,$\hbar$é simplesmente uma constante de conversão entre unidades naturais e energia (ou massa). Isso se reflete na definição do SI atual do quilograma, em termos da constante de Planck.