Precisa de explicação sobre a solução de um problema combinatório envolvendo quadrados com lados paralelos

Question

Deixe um número finito de quadrados com lados paralelos no plano, de modo que, se houver $k+1$ quadrados são escolhidos, então existem $2$quadrados de intersecção entre eles. Prove que os quadrados podem ser agrupados em$2k-1$ conjuntos de modo que quaisquer dois quadrados no mesmo conjunto se cruzem.

Encontrei esse problema no AOPS, mas não entendi a solução.

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1805602p12209708

Este é o link. Não consegui entender por que "Quadrados que se cruzam com$ABCD$ qualquer um contém ponto $B$ ou ponto $C$ ou ambos. "(como está escrito no último comentário da postagem). Você pode me esclarecer? Ou se o problema estiver errado, você poderia me ajudar com um contra-exemplo? Muito obrigado!

https://math.stackexchange.com/questions/3923791/need-counterexample-on-a-combinatorics-problem

Answer 1

Há a suposição adicional na questão apresentada no AoPS de que os quadrados são todos congruentes; sem perda de generalidade, podemos tomar o comprimento lateral como$1$. $ABCD$é, na solução fornecida lá, (um dos) quadrados mais à esquerda na coleção; diga que seu canto inferior esquerdo tem coordenadas$(x,y)$. Então qualquer quadrado$S$ cruzando $ABCD$ deve ter canto inferior esquerdo $(u,v)$ Onde $x\le u\le x+1$ (Desde a $ABCD$ é o quadrado mais à esquerda) e $y-1\le v\le y+1$.

É fácil mostrar que se $y-1\le v\le y$ então $S$ contém $C$; E se$y\le v\le y+1$ então $S$ contém $B$. portanto$S$ sempre conterá pelo menos um de $B$ e $C$.