Primes representados por $x^3-21xy^2+35y^3$.
O que sabemos sobre os primos representados por esta forma cúbica binária especial $x^3-21xy^2+35y^3$?
Sei que minha pergunta é muito curta, mas não tenho a menor ideia sobre ela, e não sei onde encontrar a resposta na literatura.
Eu pesquisei na rede para encontrar um programa para verificar se uma equação cúbica binária $f(x, y)=n$tem solução ou não, mas não achei nada. No caso de ausência de uma resposta, ou de uma referência à minha pergunta, a introdução de qualquer programa / motor seria bem-vinda.
Deixei $\alpha$ ser uma raiz do polinômio $x^3-21x-35=0$, e deixar $K:=\mathbb{Q}(\alpha)$. Então é fácil mostrar que$$Norm(x+y\alpha+z\alpha^2)=x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$ Essa forma cúbica binária é apenas $Norm(x+y\alpha)$.
Observe que o discriminante de $P(x)=x^3-21x-35$ é $-(4\times(-21)^3+27\times(-35)^2)=3969=3^4\times7^2$, tão discriminante de $K$ é um quadrado, então é uma extensão cíclica de Galois cúbica, então podemos concluir que $r_1=3$ e $r_2=0$. Pelo teorema da unidade de Dirichlet, podemos concluir que$\mathcal{O}_K^{\times}=\{\pm1\}\times\mathbb{Z}^2$. Além disso, observe que$P(x)=x^3-21x-35$ é $7$-Eisenstein, e $P(x-1)=x^3-3x^2+3x-1-21x+21-35=x^3-3x^2-18x-15$ é $3$-Eisenstein; então podemos concluir que$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\alpha\oplus\mathbb{Z}\alpha^2$.
A resposta à seguinte pergunta é positiva?
Assuma isso $Norm(a+b\alpha+c\alpha^2)=p$. Existe uma unidade$u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ de tal modo que $(a+b\alpha+c\alpha^2)\times u = A+B\alpha$ para alguns inteiros $A, B$? Assuma isso$a+b\alpha+c\alpha^2$é dada. Podemos encontrar uma unidade adequada, de modo que após a multiplicação, possamos escrever o produto como uma combinação linear de$1$, e $\alpha$? sem necessidade de$\alpha^2$?
Respostas
Deixei $\alpha$ ser uma raiz de $x^3-21x+35=0$. Então é fácil caracterizar os primos da forma$$N(x + y\alpha + z\alpha^2) = x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2$$o que já foi evitado na resposta de Will Jagy .
(Teorema) Um primo$p\neq 3,7$ pode ser representado pela forma cúbica acima iff $p\equiv \pm 1, \pm 8 \pmod{63}$.
Prova do Teorema : Let$K$ser campo numérico de$x^3-21x+35$. Presumo os seguintes fatos:$K$ tem o número da classe $3$, contido em $\mathbb{Q}(\zeta_{63})$.
Deixei $H$ ser o campo da classe Hilbert de $K$, então $H/\mathbb{Q}$ é abeliano de grau $9$ ($H/\mathbb{Q}$ é Galois e qualquer grupo de ordem $9$ é abeliano).
- Afirmação: $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$. Isso decorre de um fato geral (mas não bem conhecido) dos campos ciclotômicos. Temos a seguinte proposição, comprovada na resposta aqui : Se$F/\mathbb{Q}(\zeta_m)$ não é ramificado (em primos finitos) e $F/\mathbb{Q}$ abeliano então $F=\mathbb{Q}(\zeta_m)$. Porque$H/\mathbb{Q}$ é abeliano, aplicando esta proposição a $F=H\mathbb{Q}(\zeta_{63})$ mostra que $H\mathbb{Q}(\zeta_{63}) = \mathbb{Q}(\zeta_{63})$, assim $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$.
- Afirmação: $H$ corresponde a $\{\pm 1,\pm 8\} \subset (\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times$. $H$ corresponde a um subgrupo de ordem $4$ do $(\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times = C_6 \times C_6$, esse subgrupo é único e este é o único.
Finalmente $p\neq 3,7$ pode ser representado como $N(x + y\alpha + z\alpha^2)$ sse $p$ divide-se em ideais de princípio em $K$, sse $p$ se divide completamente em $H$, completando a prova.
Restringindo a $z=0$da forma cúbica é mais complicado e provavelmente não tem uma resposta simples. E se$\pi(n)$ denota a função de contagem principal, então
| $p$ | No. de $p \equiv 1, 8, 55, 62 \pmod{63}$ | No. de $p=x^3-21xy^2+35y^3$ |
|---|---|---|
| $\pi(p)\leq 3000$ | 326 | 61 |
| $3001\leq \pi(p)\leq 6000$ | 344 | 42 |
| $6001\leq \pi(p)\leq 9000$ | 326 | 32 |
A equação da forma $N(x+y\alpha)$é uma equação de Thue . Para cada indivíduo$p$, existe um algoritmo para verificar se $N(x+y\alpha) = p$tem solução integral. O seguinte código Magma verifica a tabela acima para pequenas$p$:
R<x> := PolynomialRing(Integers());
f := x^3 -21*x+35;
T := Thue(f);
list := {71, 127, 181, 197, 251, 307, 379, 433, 449, 503, 631, 701, 757, 811};
t := { n : n in list | Solutions(T, n) ne [] };
t
quais saídas { 71, 127, 197, 307, 379, 449, 757 }. A lista completa de primos$p$ com $\pi(p)\leq 9000$ que pode ser escrito como $p=x^3-21xy^2+35y^3$ é
{71,127,197,307,379,449,757,827,1259,1511,1637,1693,1889,2017,2339,2393,3221,3851,4283,4591,4789,5417,5419,5923,6047,6229,6553,6679,6733,7127,7253,7309,7687,7993,8387,8819,9883,10151,11593,11717,11719,12781,13033,14057,14923,15121,15749,16057,16829,17891,19081,19853,20593,21617,21673,22877,23633,24373,24697,24877,26641,28351,28547,28909,29287,30241,30493,31193,32381,32507,34469,35279,35281,35603,37799,37997,38611,38737,39439,40123,41887,42013,42407,44281,44729,45863,46187,47431,47881,49391,51659,51913,52289,53171,53857,54181,54559,55061,55763,55817,57457,57709,58897,60103,61487,62047,62189,62819,66403,67481,68041,70309,72269,72577,72883,77813,78569,79813,81017,81019,81703,82727,83719,84239,84869,86491,87443,87697,89767,90019,90271,92177,92357,92413,92861}
Não é uma resposta "real", mas é grande demais para um comentário. Acho que você está procurando uma solução sem usar uma calculadora ou PC, mas talvez isso dê algumas dicas. Eu fiz apenas uma pesquisa rápida com os seguintes limites:$-50\le x\le50$ e $-50\le y\le50$.
Escrevi e executei alguns códigos do Mathematica :
In[1]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
ParallelTable[
If[TrueQ[PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} ->
Nothing
Executar o código dá:
Out[1]={{{-48, 25, 1066283}, {-48, 49, 6427331}}, {{-47, -21,
7309}, {-47, -15, 127}, {-47, 11, 62189}, {-47, 15, 236377}, {-47,
21, 655579}, {-47, 26, 1178549}, {-47, 30, 1729477}}, {{-46, -17,
9883}, {-46, -15, 1889}, {-46, 27, 1295783}, {-46, 33,
2212433}}, {{-44, -15, 4591}, {-44, 15, 240841}, {-44, 17,
353807}, {-44, 23, 829457}, {-44, 35, 2547341}}, {{-43, -20,
1693}, {-43, 15, 241793}, {-43, 34, 2340001}, {-43, 40,
3605293}, {-43, 45, 4938443}}, {{-41, -18, 5923}, {-41, -15,
6679}, {-41, 17, 351863}, {-41, 23, 812393}, {-41, 45,
4863979}, {-41, 48, 5785543}}, {{-39, -17, 5417}, {-39, 25,
999431}, {-39, 32, 1926217}, {-39, 37, 2834747}, {-39, 43,
4237757}}, {{-38, -15, 6553}, {-38, 9, 35281}, {-38, 41,
3698801}}, {{-37, -15, 6047}, {-37, 9, 37799}, {-37, 10,
62047}, {-37, 16, 291619}, {-37, 21, 616139}, {-37, 39,
3207329}, {-37, 40, 3432547}}, {{-36, 7, 2393}, {-36, 13,
158003}, {-36, 35, 2380069}, {-36, 37, 2761163}, {-36, 43,
4133933}}, {{-34, -15, 3221}, {-34, 7, 7687}, {-34, 27,
1170107}, {-34, 37, 2711017}, {-34, 43, 4063627}}, {{-33, -14,
3851}, {-33, 14, 195931}, {-33, 16, 284831}, {-33, 26,
1047691}, {-33, 34, 2140811}, {-33, 35, 2313613}, {-33, 40,
3312863}, {-33, 49, 5745671}}, {{-32, -15, 307}}, {{-31, 10,
70309}, {-31, 12, 124433}, {-31, 15, 234809}, {-31, 22,
657973}, {-31, 25, 923959}, {-31, 33, 1936943}}, {{-29, -13,
1637}, {-29, -10, 1511}, {-29, 8, 32507}, {-29, 12, 123787}, {-29,
15, 230761}, {-29, 17, 323567}, {-29, 20, 499211}, {-29, 23,
723617}, {-29, 27, 1108477}, {-29, 33, 1896607}, {-29, 38,
2775527}, {-29, 45, 4398211}, {-29, 50, 5873111}}, {{-27, -11,
2339}, {-27, -10, 2017}, {-27, 29, 1310779}, {-27, 34,
2011409}, {-27, 41, 3345679}, {-27, 46, 4586849}, {-27, 50,
5772817}}, {{-26, 5, 449}, {-26, 27, 1069363}, {-26, 33,
1834813}, {-26, 35, 2151899}, {-26, 47, 4822343}}, {{-24, 7,
22877}, {-24, 23, 678637}, {-24, 25, 848051}, {-24, 43,
3700817}, {-24, 47, 4733317}}, {{-23, 5, 4283}, {-23, 6,
12781}, {-23, 11, 92861}, {-23, 21, 524971}, {-23, 26,
929501}, {-23, 29, 1247651}, {-23, 30, 1367533}, {-23, 39,
2798641}, {-23, 50, 5570333}}, {{-22, -9, 1259}, {-22, 9,
52289}, {-22, 15, 211427}, {-22, 19, 396199}, {-22, 21,
517229}, {-22, 25, 824977}, {-22, 45, 4114277}}, {{-19, -8,
757}, {-19, 7, 24697}, {-19, 10, 68041}, {-19, 18, 326537}, {-19,
22, 558937}, {-19, 25, 789391}, {-19, 28, 1074277}, {-19, 33,
1685447}, {-19, 42, 3290057}, {-19, 43, 3513637}, {-19, 48,
4783157}}, {{-18, 5, 7993}, {-18, 11, 86491}, {-18, 41,
3041821}}, {{-17, -6, 379}, {-17, 5, 8387}, {-17, 11, 84869}, {-17,
21, 476659}, {-17, 24, 684559}, {-17, 30, 1261387}, {-17, 35,
1933037}, {-17, 36, 2090719}, {-17, 44, 3667679}}, {{-16, 7,
24373}, {-16, 33, 1619603}}, {{-13, -6, 71}, {-13, 10,
60103}, {-13, 16, 211051}, {-13, 25, 715303}, {-13, 31,
1302841}, {-13, 34, 1689031}, {-13, 36, 1984571}}, {{-12, -5,
197}, {-12, 19, 329309}, {-12, 31, 1283129}}, {{-11, 3,
1693}, {-11, 5, 8819}, {-11, 12, 92413}, {-11, 15, 168769}, {-11,
20, 371069}, {-11, 30, 1151569}, {-11, 35, 1782269}, {-11, 38,
2252753}, {-11, 42, 2999233}, {-11, 47, 4142753}}, {{-9, 2,
307}, {-9, 8, 29287}, {-9, 10, 53171}, {-9, 13, 108107}, {-9, 25,
664271}, {-9, 32, 1339687}, {-9, 35, 1731421}, {-9, 43,
3131477}, {-9, 50, 4846771}}, {{-8, 9, 38611}, {-8, 15,
155413}, {-8, 29, 994391}, {-8, 45, 3529063}}, {{-6, 5, 7309}, {-6,
13, 97973}, {-6, 25, 625409}, {-6, 43, 3015503}, {-6, 47,
3911923}}, {{-4, 3, 1637}, {-4, 7, 16057}, {-4, 27, 750077}, {-4,
33, 1349207}}, {{-3, 1, 71}, {-3, 4, 3221}, {-3, 5, 5923}, {-3, 11,
54181}, {-3, 19, 262781}, {-3, 40, 2340773}, {-3, 44,
3103381}, {-3, 46, 3540041}, {-3, 49, 4268951}}, {{-2, 5,
5417}, {-2, 9, 28909}, {-2, 11, 51659}}, {{-1, 7, 13033}, {-1, 15,
122849}, {-1, 18, 210923}, {-1, 22, 382843}, {-1, 27, 704213}, {-1,
30, 963899}, {-1, 40, 2273599}, {-1, 43, 2821573}}, {{1, 2,
197}, {1, 3, 757}, {1, 5, 3851}, {1, 12, 57457}, {1, 17,
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15, 99289}, {4, 17, 147743}, {4, 27, 627733}, {4, 33, 1166383}, {4,
45, 3019339}}, {{6, 7, 6047}, {6, 13, 55817}, {6, 17, 135757}, {6,
23, 359407}, {6, 35, 1346491}}, {{8, 1, 379}, {8, 45,
2849687}, {8, 49, 3714859}}, {{9, 5, 379}, {9, 8, 6553}, {9, 10,
16829}, {9, 20, 205129}, {9, 22, 281933}, {9, 23, 326593}, {9, 43,
2434013}}, {{11, -2, 127}, {11, 3, 197}, {11, 7, 2017}, {11, 12,
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15749}, {13, 14, 44729}, {13, 15, 58897}, {13, 24, 328789}, {13,
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10151}, {22, 21, 131041}, {22, 29, 475721}, {22, 41,
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40123}, {24, 23, 173053}, {24, 35, 897049}, {24, 37,
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45, 1900891}}, {{32, -5, 11593}, {32, 9, 3851}, {32, 19,
30241}, {32, 31, 429661}}, {{33, 1, 35279}, {33, 10, 1637}, {33,
16, 1889}, {33, 20, 38737}, {33, 29, 306739}, {33, 34,
610469}, {33, 35, 687637}, {33, 46, 1976309}, {33, 49,
2489759}, {33, 50, 2678437}}, {{34, 23, 87443}, {34, 33,
519553}, {34, 35, 665279}, {34, 45, 1782829}}, {{36, 7,
21617}, {36, 17, 127}, {36, 23, 72577}, {36, 37, 784547}, {36, 43,
1431557}}, {{37, -6, 15121}, {37, 5, 35603}, {37, 6, 30241}, {37,
11, 3221}, {37, 20, 19853}, {37, 30, 296353}, {37, 41,
1156751}}, {{38, 9, 15749}, {38, 31, 330679}}, {{39, -5,
34469}, {39, -2, 55763}, {39, 7, 31193}, {39, 20, 11719}, {39, 22,
35603}, {39, 23, 51913}, {39, 28, 185543}}, {{41, 7, 38737}, {41,
12, 5417}, {41, 13, 307}, {41, 22, 24877}, {41, 43,
1259677}}, {{43, -6, 39439}, {43, -4, 62819}, {43, -1, 78569}, {43,
6, 54559}, {43, 11, 16829}, {43, 21, 5419}, {43, 26, 84239}, {43,
29, 173699}, {43, 39, 782209}, {43, 44, 1312739}}, {{44, -5,
57709}, {44, 3, 77813}, {44, 7, 51913}, {44, 13, 5923}, {44, 25,
54559}, {44, 27, 100493}, {44, 37, 593083}, {44, 45,
1403459}}, {{46, -7, 37997}, {46, -3, 87697}, {46, 33,
303157}, {46, 35, 414611}}, {{47, 1, 102871}, {47, 4, 90271}, {47,
9, 49391}, {47, 10, 40123}, {47, 39, 678761}, {47, 40,
764623}}, {{48, -5, 81017}, {48, 1, 109619}, {48, 5, 89767}, {48,
35, 376417}, {48, 41, 828379}}}
Então, com os limites $-50\le x\le50$ e $-50\le y\le50$ nós achamos $402$soluções. Para descobrir que usei:
In[2]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
f = Total@*Map[Length];
f[ParallelTable[
If[TrueQ[
PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} \
-> Nothing]
Out[2]=402
Se estendermos os limites para $-10^3\le x\le10^3$ e $-10^3\le y\le10^3$ nós achamos $92522$soluções. Se estendermos os limites, novamente, para$-10^4\le x\le10^4$ e $-10^4\le y\le10^4$ nós achamos $6950603$ soluções.
O discriminante de $x^3 - 21 x + 35$é um quadrado, muitas coisas caem. Os primos representados pela forma de norma completa que você fornece serão primos que são$$ 1, 5, 8, 11, 23, 25, \pmod{63} $$ $$ 62, 58, 55, 52, 40, 38, \pmod{63} $$
Há mais restrição, não óbvia inicialmente, é um subgrupo dos resíduos $$ \color{red}{ 1, 8, 55, 62 \pmod{63} } $$ $$x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$
Com quais restrições temos $z=0$ ninguém sabe.
Observe que $x^3 - 21 x + 35$ e $x^3 - 21 x + 28$ dar campos diferentes
