Primo relativo a $0$
Esta questão é mais geral, mas vou usar um teorema para motivá-la.
Suponha que eu queira provar que existe uma $r$ de tal modo que $r^3 + r + 1 = 0$. O primeiro passo é assumir que existe tal$r$, assim $r = \frac{p}{q}$ Onde $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ Onde $p,q$ são relativamente primos.
Aqui está minha pergunta. Se este$r$ estavam $0$ (não é, e posso descartá-lo, mas estou interessado em saber se realmente preciso descartá-lo para total rigor), que $r = \frac{0}{q}$. Mas$0 \cdot 0 = 0$ e $0 \cdot q = 0$, então ambos $p$ e $q$ tem um fator comum de $0$.
Mas $\gcd(p,q) = 1$, ainda, desde $1 > 0$, e não parece importar se $q$ é negativo.
Com base nisso, minha conclusão é que realmente não importa se $p = 0$e eu não preciso considerar isso. Isso está certo? Se eu escrevesse "assumir$p$ e $q$ não têm fatores comuns ", isso já é um pouco ambíguo porque certamente têm um fator comum de $1$, mas a suposição mais formal "relativamente principal" parece correta.
Respostas
Se substituirmos "$p,q$ são relativamente primos "com"$\frac pq$ está no 'termo mais baixo' "isso mudaria a forma como você pensa a respeito?
E se $q > 1$ então $\frac 0q = \frac 01$ assim $\frac 0q$ não está em termos mais baixos.
Se usarmos a notação de $\gcd$ e "primo relativo", embora o argumento seja o mesmo.
Como $0\cdot q = 0$ nós temos o $q$ é um divisor de $0$ e entao $\gcd(0, q) = q$ e se $q > 1$ então $\gcd(0,q) = q$ e portanto
E se $q>1$ então $0$ e $q$ não são relativamente primos.
Mas $\gcd(0,1) = 1$ assim
$0$ e $1$ são relativamente primos.
E podemos simplesmente continuar.
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Mas em sua análise você se confundiu e fez uma convolução.
Você diz:
Mas 0⋅0 = 0 e 0⋅q = 0, então ambos p e q têm um fator comum de 0.
Não exatamente. temos$0\cdot q =0$. Você não tem$0\cdot something = q$. assim$0$NÃO é um fator de$q$. assim$0$não é um fator de nada, exceto de si mesmo.
O que você não tem e deveria ter dito é porque$0\cdot q = 0$ e $1\cdot q = q$ é isso $q$ (e não $0$) que é um fator comum de $0$ e $q$.
Na verdade cada coisa é um fator de$0$ assim $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Tenha em mente$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ porque se algo divide ambos $a$ e $b$ também divide $-a$ e $-b$.)
E $0$ e $q$ são meios relativamente principais $\gcd(0, q) = 1$. Mas$\gcd(0, q) = |q|$ então ter $0$ e $q$ relativamente primos, devemos ter $q = \pm 1$.
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oh, devo salientar, como Prasun Biswas me corrige, que quando definimos $\gcd(a,b)$e o "maior" divisor comum, a maioria dos textos não significa necessariamente "maior" em magnitude, mas "maior" em divisibilidade. Nós definimos$a\preceq b$ para significar isso $a$ divide $b$e essa é uma ordem parcial (não total, nem dois elementos se comparam). Usando esta ordem, o "maior" divisor comum é o divisor comum em que todos os outros divisores comuns se dividem.
Na maior parte, a definição é a mesma como se $a,b$ são ambos positivos $a\preceq b \implies a \le b$. E se$a,b$ são inteiros positivos, o maior divisor comum em magnitude e o divisor comum de maior divisibilidade são os mesmos.
Mas neste caso como tudo se divide $0$, sempre temos $q\preceq 0$ e $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ e $0$é o maior em divisibilidade do que todos os inteiros. Portanto, embora todos$q$ são divisores comuns de $0$ e $0$, $\gcd(0,0) = 0$.