Probabilidade de estar em um grupo dentro de uma equipe

Aug 16 2020

Já faz um tempo desde que estive na escola, então minha matemática está realmente enferrujada.
Há um jogo que tenho jogado onde há um grupo de dez jogadores e dois são selecionados aleatoriamente como "impostores".
Qual é a probabilidade de eu ser escolhido como um dos impostores?

Eu raciocinei como:
Número de maneiras de eu ser um impostor =$\binom{1}1$.
Número de maneiras para a segunda pessoa ser escolhida como impostora =$\binom{9}1$.
Espaço amostral total =$\binom{10}2\binom{8}8$.

Portanto, a probabilidade de eu ser um impostor é$$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$

quando eu olhei$m$impostores e$n$jogadores, usei a mesma lógica para obter uma probabilidade final de$\frac{m}{n}$. Por alguma razão, eu não esperava esse resultado (que seria simplesmente uma proporção plana). Existe alguma intuição nisso? Eu esperava que o resultado fosse menor do que$m/n$, já que parece haver tantas permutações para escolher uma equipe de$m$impostores, (por exemplo, se$m = 10$,$n = 140$)

Respostas

1 Ekin Aug 16 2020 at 17:27

O numerador está incorreto: você está procurando maneiras pelas quais você é um dos impostores. Existem 9 possibilidades, ou seja, você e outra pessoa, onde outra pessoa é escolhida entre 9 pessoas. Observe que a ordem de você e da outra pessoa não é importante, então basta escolher a outra pessoa.

Editar: Em geral, você tem$n$pessoas (incluindo você) e$m$impostores.

A probabilidade de você ser um impostor é:$\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. O numerador é novamente o número de impostores, exceto você, e o denominador é novamente a escolha dos impostores sem nenhuma outra restrição envolvida.

Isso, na minha opinião, é realmente muito intuitivo - m de n pessoas são impostores, então você tem$m/n$probabilidade de ser um impostor. Isso é algo como "1 em 300 pessoas tem coronavírus, então a probabilidade de você ter (de um ponto de vista muito objetivo - eu não te conheço) é de 1/300.