Problema com solução de um problema clássico de momento angular [fechado]
Eu estava fazendo um dever introdutório de física. Em uma mesa sem atrito, duas cordas ideais com massas em suas extremidades podem girar livremente como visto na figura.
Então, ambas as massas colidem elasticamente. Eu tenho que derivar a seguinte relação$a^2m_1(\omega_1-\omega')=b^2m_2(\omega_2'-\omega)$ ser $\omega'$ a velocidade angular após a colisão.
Então, meu professor usa a conservação do momento angular, adicionando a forma escalar de ambos os momentos angulares em relação aos seus centros de rotação. Mas, isso é correto? Quer dizer, ele nos ensinou toda a física da forma vetorial, então resolver o problema sem explicar o que ele fez me confunde. Não devemos primeiro escolher uma origem para calcular o momento angular?
É assim que meu professor faz o exercício: $\sum L=a^2m_1\omega_1+b^2m_2\omega_2$
Como suponho que posso resolver o problema: $\sum L=\vec{r_{1O}}\times\vec{p}_1+\vec{r_{2O}}\times\vec{p}_2$ ser $O$ uma origem arbitrária.
Respostas
Depois de pensar mais sobre isso, não acho que o momento angular de$m_1$ cerca de A mais o momento angular de $m_2$ cerca de B é conservado.
Aqui está como eu resolvo o problema usando $\tau \enspace\Delta t = \Delta L$, Onde $\tau$ é torque e $L$é o momento angular. Para$m_1$ considerando o torque sobre A devido à colisão, $F_{m_2onm_1}\enspace a \enspace \Delta t = m_1a^2(\omega _1^{'} - \omega _1)$. Para$m_2$ considerando o torque sobre B, $F_{m_1onm_2} \enspace b\enspace \Delta t = m_2b^2(\omega _2^{'} - \omega _2)$. $F_{m_1onm_2} = -F_{m_2onm_1}$. assim$m_1a(\omega _1^{'} - \omega _1) = - m_2b(\omega _2^{'} - \omega _2)$.
Você obtém a mesma resposta usando a conservação do momento linear: $m_1(v_1^{'} - v _1) + m_2(v _2^{'} - v_2) = 0$ Desde a $v_1 = a\omega_1$ e $v_2 = b\omega_2$. (As forças de tensão nas massas das cordas são insignificantes em comparação com a força do impacto durante a colisão. Após a colisão, as tensões das cordas apenas restringem o movimento a circular.)
Eu não acho que o momento angular de$m_1$ cerca de A mais o momento angular de $m_2$cerca de B é conservado. (Compartilho sua preocupação em não usar um ponto comum para avaliar o momento angular.)
Para uma colisão elástica, a energia cinética também é conservada, e isso junto com a relação anterior permite que você resolva para $\omega_1 ^{'}$ e $\omega_2 ^{'}$ em termos de $\omega_1$ e $\omega_2$.
Tentar resolver o momento angular usando um ponto comum, digamos A, é complicado, pois você tem a força / torque de "dobradiça" em B a considerar, conforme apontado anteriormente por @ SteelCubes.
Veja Se uma bola girando em uma haste bate em outra bola, o que é o momento linear ou angular conservado? nesta troca.
Na verdade, o momento angular é uma quantidade vetorial e você acertou. O que você perdeu foi o momento angular perpendicular ao plano de movimento. E aqui, tanto as colisões quanto os movimentos independentes da bola estão ocorrendo no mesmo plano (digamos, o plano do seu caderno). Portanto, os momentos angulares devem estar na direção perpendicular ao plano do caderno. (Eu já estou assumindo que você entendeu - por que o momento angular é conservado). Então, aqui, você fica com 2 quantidades de vetor (momentos angulares da bola 1 e da bola 2) direcionados ao longo da mesma linha. (Espero que não te confunda, mas o momento angular é um vetor livre. Portanto, todos os vetores de momento angular paralelos e antiparalelos podem ser tratados como vetores ao longo da mesma linha). Vamos assumir esta direção ^ n . E você deve saber que um vetor direcionado ao longo de ^ n de magnitude A é A ( ^ n ) e A é um escalar. E qualquer vetor paralelo pode ser adicionado ou subtraído a ele como se fossem escalares também.