Prova não trigonométrica: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Aug 18 2020

Esta pergunta já foi feita antes, mas a resposta fornece a solução envolvendo trigonometria e o teorema de Stewart que eu queria evitar.

Em um triângulo $\triangle ABC$, a bissetriz do ângulo do ponto $A$ cruza $\overline {BC}$ no ponto $D$. Provar:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.


Minha abordagem:

Deixei $c$ ser o circuncírculo de $\triangle ABC$ e deixar $E$ ser a intersecção da linha $AD$ e círculo $c$.

Obtemos o seguinte:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

Por outro lado:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

Finalmente,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

Cenário:


Posso perguntar se isso é válido? Em caso afirmativo, há algo que eu possa fazer para melhorar minha prova?

Agradeço antecipadamente!

Respostas

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

Observe a segunda etapa ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$é um teorema bem conhecido ( Teorema dos acordes de interseção ), portanto, você também pode consultá-lo em vez de prová-lo. Fora isso, esta prova é perfeitamente válida e, sendo muito curta, não vejo como poderia ser melhorada.