Prova para uma solução inteira geral da equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑁 [duplicado]

Question

Dado $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ e $N\in\mathbb{Z}$, é fácil mostrar que se $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ são uma solução particular para $ax+by=N$, então $x=x_0+\frac{b}{d}t$ e $y=y_0-\frac{a}{d}t$, Onde $d=gcd(a,b)$ e $t\in\mathbb{Z}$, também são solução para $ax+by=N$.

Mas posso perguntar como provar que eles são realmente a solução geral para $ax+by=N$ se restringirmos as soluções dentro $\mathbb{Z}$? (ou seja, todas as soluções inteiras foram contadas)

Obrigado!

Answer 1

Seja A o conjunto de todas as soluções inteiras de pares ordenados. Seja B o conjunto de todos os pares ordenados de soluções inteiras apenas na forma que você forneceu. Nós sabemos$B \subseteq A$

Primeiro encontre todas as soluções racionais para a equação e, em seguida, restrinja-as.

Deixei

$x=x_0+bu$

para $u \in\mathbb{Q}$

Isso pode ser resolvido para u para qualquer x racional.

E então usando

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, o que também é racional.

Portanto, cada elemento de A pode ser escrito como $(x_0+bu,y_0-au)$ para algum u racional.

Então deixe $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

Nós exigimos

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

escrever $u=\frac{m}{n}$. Suponha que seja em termos mais baixos

assim

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

assim $n|b$ e $n|a$

Que significa $n|d$ Onde $d=gcd(a,b)$

Nós podemos escrever $rn=d$ para algum inteiro r

assim $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

Então deixando $t=rm$, nós sabemos isso $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

assim $A \subseteq B$ dando-nos $A=B$.