provando convergência de $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [duplicado]
$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$
Prove que a sequência é convergente.
Estou tentando provar a convergência dessa sequência, mas estou tendo problemas. A princípio pensei que essa poderia ser uma sequência monótona, pois posso tentar o teorema da convergência monótona para provar sua convergência.
Mas depois de verificar alguns termos, percebi que parecia que a sequência estava oscilando. Portanto, não tenho certeza de como provar a convergência dessa sequência.
Obrigado.
Respostas
Esta sequência é uma sequência de Cauchy, portanto, ela converge.
Primeiro você vê $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$da relação recursiva. [$a_1=1$ e $a_{n+1}$ é definido para adicionar termos positivos]
Segundo desde $a_n>0$ portanto $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $
Agora considere \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}e esta é a sequência cauchy. [A série com este formulário é chamada de contração e depois de aplicar repetidamente o mesmo procedimento continuando a$|a_2-a_1|$, e pelo teorema Squeeze você pode facilmente adivinhar $a_n$ é uma sequência de Cauchy]
Dentro $\mathbb{R}$a sequência de cauchy implica convergências, por isso converge. Então, tomando limites$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ temos $\alpha^2 = 2$ e de $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$.
Um método frequentemente útil com sequências oscilantes: Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ Então $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ Porque $1+a_n\ge 2$ por indução em $n$.
assim $b_n$ diminui para $0$. assim$(a_n)^2\to 2$ com cada $a_n>0.$
A motivação para o "$2$"na definição de $b_n$ é aquele SE $a_n$ converge para um limite $L$ então $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ implicando $L^2=2.$