Provando $\sum {\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {\prod \left( a+b \right) }{16abc}}\geq \frac{5}{4}$

Question

Para $a,b,c>0.$ Provar$:$ $${\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {bc}{ \left( b+c \right) ^{2}}}+{\frac {ac}{ \left( c+a \right) ^{2}}}+\,{\frac { \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) }{16abc}}\geqslant \frac{5}{4}$$ AM-GM mata fácil, mas acho que é difícil conseguir SOS$,$ Eu não posso!

E se $c=\min\{a,b,c\},$ obtemos o seguinte por Maple$:$

No entanto, é feio. Então, eu desejo outro SOS.

PS: Essa desigualdade é de Nguyen Viet Hung.

Existe a prova AM-GM aqui: https://www.facebook.com/groups/1486244404996949/permalink/2695082927446418/

Portanto, não preciso da prova AM-GM.

Answer 1

Sim, o SOS ajuda.

Precisamos provar que $$\frac{\prod\limits_{cyc}(a+b)}{16abc}-\frac{1}{2}\geq\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right)$$ ou $$\frac{\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2}{16abc}\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}$$ ou $$\sum_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{4}{(a+b)^2}\right)\geq0$$ ou $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{ab(a+b)^2}\geq0.$$