Prove que a soma dos raios dos círculos

Question

$ABCD$é um quadrilátero cíclico. Prove que a soma dos raios dos círculos desenhados dentro dos triângulos$\Delta ABC$ e $\Delta CDA$ é igual à soma dos raios dos círculos desenhados dentro dos triângulos $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Tive a ideia de que posso usar o https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralspara provar que a distância entre os centros é igual - eles formam um retângulo - mas não consigo resolver. Por favor ajude.

Answer 1

Dica Use o teorema de Carnot: dado um triângulo$\Delta ABC$, deixei $O$ denotam seu circuncentro, $R$ seu circumradius, e $r$seu inradius. Deixei$O_1,O_2,O_3$ além disso, as projeções ortogonais de $O$ para $BC, CA, AB$respectivamente. Então temos$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Aviso: o segmento $OO_i$ é considerado negativo se $OO_i$ está completamente fora $\Delta ABC$e positivo caso contrário.

Aqui,$\color{blue}{OO_2}$ seria negativo, enquanto $\color{red}{OO_1, OO_3}$são positivos. Por conveniência, deixe$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Notar que$OO_3BO_1$ é um quadrilátero cíclico, pois $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, e, portanto, você pode usar o teorema de Ptolomeu para inferir $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$Analogamente, você obterá \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {casos}

Some-os e considere a conhecida equação $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (você vê agora porque é importante tomar $OO_2$ser negativo?). A primeira parte é apenas uma consequência da divisão$\Delta ABC$em três triângulos com o incenter como vértice. A segunda parte é trivial. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Agora, voltando ao seu problema, é bastante fácil terminar uma vez que tenhamos esta joia :)

(Vou me referir à imagem.) Observe que usar o Teorema de Carnot duas vezes, uma para $\Delta ABD$ e novamente para $\Delta BCD$, nós obtemos $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Notar que $OO_5$ é negativo para $\Delta ABD$ e positivo para $\Delta BCD$. Assim, se você adicionar essas duas equações, você obterá$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ É fácil ver que esta expressão será idêntica ao se referir a $r_3+r_4$.