Puzzle deslizante 3 x 2

Question

Seria possível resolver um quebra-cabeça deslizante como este (x é o espaço) ?:

1  3  2

4  5  x

Não consegui resolver isso e nem sei se é possível.

Answer 1

Solução:

não, não é possível ir da posição que você deu ao quebra-cabeça "resolvido" com $1,2,3,4,5$na ordem certa e a lacuna na parte inferior direita. Isso pode ser provado da mesma forma que o (famoso) " quebra-cabeça 14,15 " original.

Ele pode ser mostrado usando alguma teoria de grupo básica, semelhante à prova encontrada aqui .

Cada posição do quebra-cabeça pode ser interpretada como uma permutação de $\{1,2,3,4,5,6\}$, com o quadrado em branco interpretado como $6$. Cada movimento do quebra-cabeça pode então ser interpretado como uma transposição no grupo simétrico$S_6$, trocando o quadrado em branco $6$com um dos blocos reais. A posição que você deu está a uma transposição da posição resolvida, mas só poderia ser alcançada em um número par de$6$-troca, já que aquele quadrado em branco $6$deve terminar na mesma posição, portanto, deve ter um número par de movimentos para cima e para baixo e um número par de movimentos da esquerda para a direita. Mas qualquer combinação de um número par de transposições deve estar no grupo alternado$A_6$e, portanto, não podemos chegar a uma única transposição por essa combinação.

Answer 2

Se o seu objetivo é obter "1 2 3" na primeira linha e "4 5 x" na segunda, a resposta é não , não é possível.

Esta é uma versão menor do quebra-cabeça 14-15 de Sam Loyd . Se você tiver um quebra-cabeça deslizante com um único espaço vazio, poderá verificar se ele pode ser resolvido com base na paridade - o número de opções necessárias para chegar à solução. Especificamente:

• Primeiro, faça movimentos para que o ladrilho vazio esteja no lugar certo.
• Agora imagine que você possa escolher magicamente duas peças para trocar de posição. Quantas trocas são necessárias para resolver o quebra-cabeça?

Se o número de trocas for par, o quebra-cabeça original pode ser resolvido. Se o número de trocas for ímpar, o quebra-cabeça original não terá solução. (Em outras palavras, a partir de um quebra-cabeça resolvido, não importa o que move você faz você estará sempre no mesmo caso -. Não há nenhuma maneira de saltar entre os dois casos apenas por telhas de correr ao redor Você teria que enganar, tomando o telhas para fora.)

Em seu exemplo, há exatamente uma troca necessária para resolver o quebra-cabeça. Portanto, não é possível resolver deslizando.